Исходным статистическим материалом для решения задач этой темы являются задания из раздела «Множественная регрессия». Каждому студенту необходимо уравнение множественной регрессии, полученное в Главе II, проверить на предмет нарушения предпосылок МНК и при необходимости произвести коррекцию модели.
4.2.1. Проверка наличия гетероскедастичности
Задание:
1) Графически и с помощью тестов проверить наличие гетероскедастичности;
2) При наличии гетероскедастичности с помощью тестов Уайта, Парка и Глейзера выбрать наилучшую аппроксимацию 
или 
(по значению коэффициента детерминации R 2) и с помощью ВМНК скорректировать уравнение регрессии.
Пример 4.1. В табл. 4.1 приведены данные об объеме импорта Y (млрд долл.), валовом национальном продукте Х 1 (млрд долл.) и индексе потребительских цен Х 2 в США за период с 1964 по 1979 гг.
Таблица 4.1
| Годы | Y | Х 1 | Х 2 |
| 28,4 | 635,7 | 92,9 | |
| 32,0 | 688,1 | 94,5 | |
| 37,7 | 753,0 | 97,2 | |
| 40,6 | 796,3 | 100,0 | |
| 47,7 | 868,5 | 104,2 | |
| 52,9 | 935,5 | 109,8 | |
| 58,5 | 982,4 | 116,3 | |
| 64,0 | 1063,4 | 121,3 | |
| 75,9 | 1171,1 | 125,3 | |
| 94,4 | 1306,6 | 133,1 | |
| 131,9 | 1412,9 | 147,7 | |
| 126,9 | 1528,8 | 161,2 | |
| 155,4 | 1702,2 | 170,5 | |
| 185,8 | 1899,5 | 181,5 | |
| 217,5 | 2127,6 | 195,4 | |
| 260,9 | 2368,5 | 217,4 |
Параметры множественной регрессии определим с помощью функции ЛИНЕЙН и построим графики 
и 
(рис. 4.1.).
Из рисунка видно, что уравнение множественной регрессии имеет вид:
.
Качество уравнение регрессии в целом достаточно высокое (R 2 = 0.987). Из графиков распределения 
видно, что ошибки зависят от факторов, причем эта зависимость имеет явно нелинейный характер. Однозначно из графиков сказать нельзя присутствует ли гетероскедастичность и в какой степени. Если гетероскедастичность существует, то носит явно нелинейный характер. Поэтому проверки с помощью тестов Спирмена и Голдфелда-Квандта здесь не правомочны. Покажем это.
Тест ранговой корреляции Спирмена.
Результаты реализации этого теста на компьютере представлены на рис.4.2.
Рис. 4.1
|
Рис. 4.2
Обозначения на рисунке имеют следующий смысл:
модЕ = 
; dкв = (ранг х i - ранг )2.
Для вычисления рангов была использована статистическая функция РАНГ(число; массив; порядок), которая возвращает ранг числа из массива. Если порядок = 1, то ранжирование по возрастанию, если порядок =0 - ранжирование по убыванию.
Так как Т набл 
, то коэффициент ранговой корреляции Спирмена статистически не значим, что является признаком отсутствия гетероскедастичности в смысле Спирмена (что априорно и предполагалось).
Тест Голдфелда-Квандта.
В связи с тем, что выборка небольшая (n = 16), принимаем k = 8. Результаты анализа с помощью этого теста представлены на рис. 4.3.
|
Рис. 4.3
Из рисунка видно, что S1 = 2,816, а S2 = 384,85, в результате чего
= 136,68 > fкр = 4,28, что с одной стороны свидетельствует о значительных расхождениях отклонений в начале и в конце списка данных, но это обусловлено двумя «выбросами» (см. рис. 4.1), а вовсе не тенденцией 
.
Как уже было отмечено выше, наиболее подходящим тестом для выявления гетероскедастичности, в этом случае, является тест Уайта.
Тест Уайта.
В этом тесте будем предполагать, что квадраты ошибок можно представить уравнением вида:
Результаты расчетов с помощью функции Линейн представлены на рис.4.4. Из рисунка следует 
(2,442274) < 
(3,325835), что свидетельствует об отсутствии регулярности ошибок, а это значит гетероскедастичностью можно пренебречь.
|
Рис. 4.4
Если бы факт гетероскедастичности подтвердился, то все составляющие исходного уравнения
необходимо разделить на 
, которые для данного примера вычисляются по формуле:
,
и оценить его. В результате чего уравнение регрессии будет адаптировано к переменным дисперсиям ошибок измерений.
4.2.2. Проверка наличия мультиколлинеарности
Решение данной задачи рассмотрим на Примере 4.1.
Результаты вычислений с помощью ППП Ехсеl представлены на рис.4.5. Парные коэффициенты корреляции (Х 1, Х 2) и (Y, Х 1, Х 2) были получены с помощью функции Корреляция. Доступ к этой функции осуществляется следующим образом:
1) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Корреляция (рис.4.6). Щелкните по кнопке ОК;
|
Рис. 4.5
Рис. 4.6
2) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис.4.7):
Входной интервал – диапазон, содержащий анализируемые данные;
Группирование – переключатель, указывающий расположение данных по столбцам или по строкам;
Метки – флажок в этой позиции означает, что первая строка исходного диапазона содержит название столбцов;
Параметры вывода – активизируйте выходной интервал и укажите адрес левой верхней ячейки выходного диапазона.
Значения частных коэффициентов корреляции были рассчитаны по формуле (4.24), для этого была обращена матрица R (корреляция 1) при помощи функции МОБР.
Рис. 4.7
Выводы по задаче:
1) Из рисунка следует, что значения выборочных коэффициентов корреляции указывают на достаточно сильную корреляцию между факторами Х 1, Х 2 (
= 0,997) и частный коэффициент корреляции также высок (
= 0,799), следовательно в модели присутствует мультиколлинеарность. Кроме того det R = 0,0057, т.е. близок к нулю, и проверка с помощью 
- распределения показала, что 
(13,87) > 
(5,024), что также свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Здесь значение было рассчитано по формуле (4.22).
2) Из частных коэффициентов корреляции 
= 0,363 и 
= 0,266 следует, что влияние Х 1 на Y больше, чем Х 2 на Y. Частные коэффициенты детерминации 
= ()2= 0,132 и = (
)2= 0,071 показывают, что 13,2% рассеивания переменной Y обусловлено изменением только Х 1, а 7,1% - Х 2.
4.2.3. Проверка наличия автокорреляции
Эта проверка была произведена в Главе II. Если факт автокорреляции был зафиксирован, то здесь предлагается скорректировать уравнение множественной регрессии с помощью авторегрессионной схемы первого порядка, описанной в п. 4.1.4.
Вопросы для подготовки к защите индивидуального задания
1. Что такое гомоскедастичность и гетероскедастичность?
2. Приведите пример взаимоотношений в экономике, описываемых моделью с гетероскедастичными остатками.
3. Каким образом осуществляется проверка эконометрической модели на гомоскедастичность?
4. Почему нельзя применять классический МНК в случае гетероскедастичности?
5. Какие преобразования исходных данных нужно провести в случае обнаружения гетероскедастичности?
6. В чем суть метода взвешенных наименьших квадратов (ВМНК)?
7. Как вы понимаете термин «автокорреляция остатков»?
8. Приведите пример взаимоотношений в экономике, описываемых моделью с автокоррелированными остатками.
9. Каковы последствия применения классического МНК к модели с автокоррелированными остатками?
10. Каким образом осуществляется проверка эконометрической модели на автокорреляцию остатков?
11. Опишите схему использования статистики DW Дарбина-Уотсона.
12. Какие преобразования исходных данных нужно провести в случае обнаружения автокорреляции остатков?
13. Что такое мультиколлинеарность?
14. По каким проявлениям можно судить о наличии мультиколлинеарности в оцененной модели?
15. Каковы негативные последствия мультиколлинеарности?
16. Перечислите основные методы устранения мультиколлинеарности.
Глава V
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
