Возьмем общее уравнение первого порядка и докажем, что ему соответствует плоскость. Для этого приведем его к виду (1). Общее уравнение первого порядка
. (3)
.
Сравним с (1) и сделаем вывод, что это уравнение плоскости, проходящей через точку 
и 
. Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Плоскость – это поверхность первого порядка. В зависимости от значений A, B, C и D плоскость занимает определенное положение относительно системы координат. Рассмотрим эти случаи.
I. Одна из констант A, B, C равна нулю.
1) Пусть A =0. Тогда 
. Вектор 
, 
(рис. 2).
2) Пусть B =0. Тогда 
. Вектор 
, 
(рис. 3).
3) Пусть C =0. Тогда 
. Вектор 
, 
(рис. 4).
Вывод!!!
Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна координатной оси, одноименной с отсутствующей переменной.
II. Свободный коэффициент D =0. Следовательно, точка 
или 
. Плоскость проходит через начало координат.
Вывод!!!
Если в общем уравнении плоскости отсутствует свободный коэффициент, то плоскость проходит через начало координат.
III. Одна из констант A, B, C равна нулю и D =0.
1) Пусть A =0. Тогда 
, 
и , 
(рис. 5).
, и , 
(рис. 6).
3) Пусть C =0. Тогда 
, и , 
(рис. 7).
Вывод!!!
Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных и свободный коэффициент, то плоскости принадлежит координатная ось, одноименная с отсутствующей переменной.
IV. Две из констант равна нулю:
1) Пусть A = B =0. Тогда 
, или 
(рис. 8).
2) Пусть A = C =0. Тогда 
, или 
(рис. 9).
3) Пусть B = C =0. Тогда 
, или 
(рис. 10).
Вывод!!!
Если в общем уравнении плоскости отсутствует две из переменных, то плоскость параллельна координатной плоскости, одноименной с отсутствующими переменными.
1) Пусть A = B=D =0. Тогда 
, или 
(рис. 11).
2) Пусть A = C=D =0. Тогда 
, или 
(рис. 12).
3) Пусть B = C=D =0. Тогда 
, или 
(рис. 13).
Вывод!!!
Если в общем уравнении плоскости две из переменных и свободный член отсутствуют, то плоскость есть координатная плоскость, одноименная отсутствующим переменным.
4. Уравнение плоскости в отрезках.
Возьмем общее уравнение плоскости (3). Обозначим точки пересечения плоскости с координатными осями как:
, 
, 
.
Поскольку эти точки принадлежат плоскости, то они должны удовлетворять (3). Подставим значение координат точек в (3) и получим
;
;
.
Подставим эти значения в (3)
или 
. (4)
Выражение (4) есть уравнение плоскости в отрезках.
ПРИМЕР 2.
Построить плоскость, заданную уравнением 
. Приведем это выражение к виду (3)
. То есть 
, 
. Это плоскость параллельная оси 
. Действительно 
можно представить как 
, где 
– бесконечно большая величина. То есть ось не пересекается плоскостью. Плоскость представлена на рис. 14.
5. Уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки
Даны три точки плоскости 
, 
, 
. Тогда для любой 
можно построить три вектора 
, 
, 
(рис. 15). По условию они лежат в одной плоскости, или компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю. Получим уравнение плоскости
. (5)
6. Угол между двумя плоскостями
Пусть в 
заданы две плоскости 
и 
. Обозначим угол между плоскостями как 
. Очевидно, что этот угол 
, где 
и 
. Тогда
. (6)
6.1. Условие перпендикулярности плоскостей
или 
.
6.2. Условие параллельности плоскостей
или 
.
ПРИМЕР 3.
Дано: 
, 
,
, 
.
Расположение плоскостей: 
, 
.
7. Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка 
и плоскость 
. Возьмем произвольную точку 
. Очевидно (рис. 16), что расстояние от точки до плоскости 
определяется проекцией вектора 
на вектор нормали 
. Следовательно,
Так как точка 
, то 
. Подставим это значение и получим
. (7)
Заключение
Отметим следующее:
- вид поверхности определяется видом уравнения и типом пространства;
- уравнения плоскости получаются на основе свойств векторов;
- плоскость в описывается общим уравнением первого порядка;
- вектор нормали к плоскости определяется координатами 
;
- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;
- расстояние от точки до плоскости определяется на основе свойств проекций.
Литература
1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000. -208 с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.
5. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.
Лекция 12
