Прямая, как линия пресечения двух плоскостей

Даны две плоскости: и с перпендикулярами и . Пусть эти плоскости пересекаются. Пересечение плоскостей образует прямую . Т. е. и . Следовательно, общее уравнение прямой l будет определятся системой уравнений

. (8)

3.1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому

Поскольку и , то и . Следовательно и . То есть . Решим систему (8). Поскольку плоскости пересекаются , то . Свободных неизвестных: 3-2=1. Пусть , тогда, подставляя ее в (8), получим систему уравнений определяющих точку прямой .

ПРИМЕР 1.

Прямая задана системой . Представим это уравнение в каноническом виде. Определим направляющий вектор

.

Определим точку . Примем .

.

Вычитаем из первого уравнения второе и получим , откуда , , а точка , а уравнение прямой в каноническом виде

.

3.2. Переход от канонического уравнения прямой к общему

Запишем (7) в виде системы уравнений

. (9)

Т. е. прямая в пространстве может быть образована двумя плоскостями и или двумя плоскостями, параллельными двум координатным осям.

4. Угол между двумя прямыми в пространстве

Заданы две прямые в пространстве и . Определим угол . Угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами

. (10)

4.1. Условие перпендикулярности прямых

или .

4.2. Условие параллельности прямых

или .

5. Угол прямой с плоскостью

Дана плоскость и прямая

.

Определение 1.

Углом прямой с плоскостью называется угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость .

Учитывая и правило скалярного произведения, определим

. (10)

5.1. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

или .

5.2. Условие параллельности прямой и плоскости

или .

ПРИМЕР 2.

Даны: и . Их расположение:

а) и не перпендикулярны.

б) и не параллельны.

в) .

6. Точка пересечения прямой и плоскости

Дана плоскость и прямая . Тогда точка пересечения будет определяться системой уравнений

= . (11)

Откуда ,

.

Рассмотрим три случая:

1. Если , то . Тогда t подставляем в (11).

2. Если и , тогда t – множество и .

3. Если , но , тогда решений нет и l не пересекает , т. е. .

ПРИМЕР 3.

Даны: точка и плоскость . Определить точку проекции М ₁на плоскость. Определим их положение.

Запишем с учетом уравнение прямой, проходящей через точку М , тогда точка пересечения будет определяться системой , откуда . Т. е. .

Заключение

В лекции рассматривалось уравнение прямой в пространстве. Важно понять, что плоскость – это частный случай уравнения прямой. Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве аналогичны условиям для плоскостей. При определении прямой как линии пересечения двух плоскостей необходимо знать правило векторного умножения. В следующей лекции будет рассматриваться частный случай прямой в декартовой системе координат на плоскости. Отметим следующее:

- в каноническом уравнении прямой в пространстве двойное равенство;

- общее уравнение прямой в пространстве задается системой двух уравнений плоскости в пространстве;

- если в уравнении прямой отсутствует переменная, то это уравнение плоскости в ;

- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;

- угол между прямой и плоскостью определяется не через косинус, а через синус угла;

- при определении точки пересечения прямой и плоскости необходимо решать систему уравнений.

Литература

1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000. – 208 с.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

 

Лекция 13