Поворот гиперболы
Парабола
Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду
Парабола со смещенной вершиной. Исследование квадратного трехчлена
Цели занятия: изучить свойства гиперболы и параболы; на примере лекции 11 найти аналогии в изучении кривых второго порядка; систематизировать знания по теме «Кривые второго порядка»; расширить школьные знания о гиперболе и параболе.
Роль и место лекции
Школьные представления о гиперболе и параболе ограничены частными случаями параболы (
) и гиперболы (
). Понятия же эти более широкие. В лекции будут рассмотрены такие вопросы как, общее и каноническое уравнения гиперболы и параболы, полученные на основе их классических определений, поворот оси гиперболы, характерные признаки уравнений. Более широко они будут изучаться в теме «Квадратичные формы».
Гипербола.
Определение 1.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояния которых от двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Зададим в декартовой системе координат фокусы F 1и F 2(рис. 1). Возьмем произвольную точку M (x,y), которая по определению должна принадлежать гиперболе. Проведем отрезки F 1 M и F 2 M (рис. 1). Согласно определению рассмотрим разность этих отрезков
, (1)
где 
– произвольное число.
, тогда из 
=> 
=> 
или 
. Фокусы имеют координаты 
и 
, причем 
– гипербола. Представим выражение (1) в координатах:
.
Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:
.
Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:
.
Возведем обе части равенства в квадрат:
.
Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:
,
.
Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные в левую. Вынесем за скобки x 2и a 2:
. (2)
Отметим, что 
. Обозначим 
. Запишем выражение (2) через введенные обозначения
,
. (3)
Выражение (3) есть уравнение гиперболы в каноническом виде.
Рассмотрим выражение (3) и заметим следующее.
1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то гипербола симметрична относительно осей начала координат. Ось симметрии, на которой находятся фокусы гиперболы, называется фокальной осью.
2. Гипербола L (3) пересекается с осями координат:
a) Пересечение с осью 
.
, 
. Из выражения (3) => 
, то есть точки 
и 
. Эти точки – действительные вершины гиперболы. 
– действительная ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).
б) Пересечение с осью 
.
, 
. Из выражения (3) => 
, то есть точек пересечения с осью нет. Отложим на оси отрезки b от начала координат. Две точки 
и 
– мнимые вершины гиперболы. 
– мнимая ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).
3. Из уравнения (3) найдем y:
. (4)
Для I четверти выражение (4) имеет вид 
. При увеличении x от a до 
(при x = a y =0) значение y увеличивается от 0 до . Поскольку гипербола симметрична относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, гипербола будет вести себя в остальных четвертях плоскости.
4. Крутизна. Через 
проведем прямые, параллельные осям координат. Получим основной прямоугольник (рис. 2). Через диагонали прямоугольника проведем прямые l 1и l 2, такие, что 
, 
. Сравним ординаты l 1и координаты гиперболы L в первой четверти при одних и тех же значениях x
, => 
,
то есть с увеличением x гипербола никогда не пересечет эти прямые, при этом бесконечно приближаясь к ним. Следовательно, l 1и l 2 – асимптоты гиперболы.
5. Эксцентриситет гиперболы аналогичен эллипсу
. (5)
Из (5) следует, что 
. Причем, если 
, гипербола вытягивается вдоль оси , если 
, гипербола вытягивается вдоль оси .
2.1. Частные случаи
1. Если F 1 и F 2 
, то каноническое уравнение гиперболы принимает вид
. (6)
Причем 
– мнимая ось гиперболы, 
– действительная ось.
2. Если центр гиперболы лежит не в начале координат, а в точке 
, то уравнение гиперболы (3) примет вид
. (7)
3. Поворот гиперболы
Примем 
, тогда уравнение гиперболы примет вид
.
Повернем систему координат по часовой стрелке на угол 
(рис. 3). Тогда асимптоты совпадут с координатными осями новой системы координат. Выразим старые координаты 
через новые 
. (8)
С учетом получим
, 
. (9)
Подставим (9) в (3). Тогда выражение гиперболы в новой системе (повернутой) координат примет вид
или 
. Откуда
. (10)
Выражение (10) есть уравнение равносторонней гиперболы, осями симметрии которой являются асимптоты.
Признаки гиперболы:
- коэффициенты при квадратах имеют противоположные знаки;
- гипербола пересекает ось координат, одноименную с переменной в квадрате, при которой коэффициент имеет знак «-»;
- в случае поворота координатных осей в уравнении кривой второго порядка (см. Лекцию 11) появляются слагаемые произведения переменных.
4. Парабола
Определение 2.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
– параметр параболы. Проведем прямую d таким образом, чтобы она перпендикулярно пересекала ось 
в точке 
. Возьмем произвольную точку M (x, y), которая по определению должна принадлежать параболе. Проведем перпендикуляр из этой точки на прямую d. Обозначим точку их пересечения 
. Согласно определению рассмотрим длины отрезков 
и 
.
= = 
.
Раскроем скобки и сократим одинаковые члены
. (11)
Формула (11) – каноническое уравнение параболы
5. Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду
1. Характерный признак параболы: одна текущая координата в квадрате, а другая в первой степени.
2. Поскольку 
, то парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии одноименна с текущей переменной, входящей в уравнение в 1-й степени.
3. Найдем точки пересечения уравнения параболы с координатными осями.
Пересечение с осью .
, . Из выражения (11) , то есть точка 
– вершина параболы, единственная точка пересечения с координатными осями.
4. 
Построим параболу. Для этого из (11) выразим 
. Для первой четверти это выражение примет вид 
. При увеличении x от 0 до 
(при x =0 y =0) значение y увеличивается от 0 до (рис.5).
Замечание!!!
Если F , то каноническое уравнение параболы имеет вид
. (12)
Вид параболы для различных уравнений
6. Парабола со смещенной вершиной
Исследование квадратного трехчлена
Задан квадратный трехчлен
. (13)
). Поскольку одна переменная в квадрате, а другая в первой степени, то очевидно, что это парабола (обратное утверждение не верно рис.6). Выделим полные квадраты
. (14)
Обозначим 
, 
, 
. Тогда выражение (14) запишем в виде
. (15)
Это парабола со смещенной вершиной в точку 
.
ПРИМЕР 1:
Построить кривую, определяемую уравнением 
.
Приведем это уравнение к виду (15): 
, 
– это парабола вида (рис.5) с вершиной в точке (-4,-1) и ветвями, повернутыми влево (т.к. 
). Ось симметрии параллельна оси как на рисунке.
Заключение
В лекции изучены понятия «гипербола» и «парабола» в общем виде, построение графиков этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой.
Отметим следующее:
- параметры a и b в выражениях (3, 6, 7) определяют основной прямоугольник гиперболы и следовательно ее асимптоты;
- эксцентриситет гиперболы > 1;
- эксцентриситет гиперболы определяет ее вытянутость;
- при поворотах кривых второго порядка в их общих уравнениях появляются слагаемые произведения текущих переменных;
- чем меньше p, тем она более вытянута парабола, а знак p определяет направление ветвей параболы;
- степень переменной определяет ось симметрии параболы.
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.
2. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.
Лекция 16
Поверхности второго порядка
