Определители
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов, заданных координатами
4. Смешанные произведения векторов
Цели занятия: познакомиться с понятием «матрица», ее математическим и физическим смыслом; понять, что нахождение определителя матрицы является базовым при нахождении векторного и смешанного произведения векторов; понять геометрический смысл смешанного произведения векторов.
Роль и место лекции
Полученные знания будут необходимы для восприятия темы «Матрицы» и «Системы линейных уравнений». Такое фундаментальное понятие, как «определитель» позволит находить решения систем линейных уравнений, смешанное и векторное произведение векторов и т.д. Понятие «смешанное произведение векторов» является одним из связующих звеньев между алгеброй, геометрией и векторным анализом.
Определители
Определение 1.
Квадратной матрицей называется таблица чисел, состоящая из n строк и n столбцов. Обозначаются матрицы прописными буквами A, B, C и т. д.
, (1)
где 
- элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.
Определение 2.
Определителем, или детерминантом второго порядка, называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице второго порядка и определяемое следующим образом:
. (2)
1.1. Свойства определителя
1. При перестановке 2 строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный:
.
2. Если все элементы строки, столбца – нули, то определитель равен нулю:
.
3. Если в матрице одинаковые две строки (столбца), то определитель равен нулю:
.
4. Если в матрице пропорциональны две строки (столбца), то определитель равен нулю:
.
5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:
.
6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить элементы какой-нибудь другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число:
.
Доказательство (основано на определении).
.
Определителем или детерминантом третьего порядка, называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице третьего порядка и определяемое следующим образом:
. (3)
Замечание!!!
Так как определитель третьего порядка определяется через определитель второго порядка, то все описанные свойства определителя второго порядка справедливы и для третьего.
Определение 4.
Минором 
элемента 
называется определитель, полученный вычеркиванием i-й строки, j-го столбца, на пересечении которых находится элемент:
. (4)
Учитывая введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка:
.
Определение 5.
Алгебраическим дополнением 
элемента называется минор , умноженный на 
: 
:
, 
. (5)
Учитывая введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка:
. (6)
Теорема 1 (Лапласа).
Сумма произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения равна определителю. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю:
.
Определение 6.
Определителем n-го порядка называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице n-го порядка и определяемое как
. (7)
2. Векторное произведение векторов
Определение 7.
Векторным произведением векторов 
и 
называется вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1) 
; 2) 
;
3) 
направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется против часовой стрелки (рис. 1), и обозначается 
.
ПРИМЕР 1.
Вектор угловой скорости 
определяется вектором линейной скорости 
и радиус-вектором 
как 
.
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) Коллинеарности векторов
. (8)
