Определение 1.
Системы с n уравнениями и n неизвестными называются системами вида
, (1)
где 
– коэффициенты системы уравнений, 
– свободные члены, 
– неизвестные. В более компактном виде систему (1) можно записать как
. (2)
, 
, 
.
Согласно правилу умножения матриц запишем систему (1) в матричном виде:
. (3)
Определение 2.
Совокупность значений неизвестных 
, обращающая каждое уравнение системы (1) в числовое равенство, называется решением системы.
Определение 3.
Система называется совместной, если она имеет решения, и несовместной – если решений не имеет.
Определение 4.
Совместная система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если решений множество.
Так как основная матрица квадратная, то существует определитель системы
.
Заменим j -й столбец (при коэффициентах 
) столбцом свободных членов. При этом получим j -й определитель 
:
.
1.1. Метод Крамера
Теорема 1 (Крамера).
, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле
. (4)
Доказательство.
Умножим каждое уравнение системы на соответствующие алгебраические дополнения к элементам первого столбца, т. е. первое уравнение (1) умножим на 
, второе уравнение умножим на 
, треть уравнение умножим на 
и т. д. Результаты умножения сложим и согласно теореме Лапласа получим:
.
Отсюда следует 
или 
. Аналогичным образом, умножая уравнения на алгебраические дополнения последующих столбцов, можно доказать (4) для любого i.
ПРИМЕР 1.
Для системы имеем основную матрицу и определитель
, 
.
Запишем соответствующие j -е определители для столбцов
, 
, 
.
Тогда решение системы: 
, 
, 
. Решение 
.
1.2. Матричный метод
Если системы, то матрица А – невырожденная и существует 
. Тогда разрешая систему (3) относительно матрицы неизвестных X, получим уравнение
. (5)
Для системы из предыдущего примера найдем обратную матрицу:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Тогда
, 
Результат соответствует методу Крамера.
3. Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными
Определение 5.
Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными называются системы вида
. (6)
Определение 6.
Расширенной матрицей называется матрица, составленная из основной матрицы путем добавления столбца свободных членов:
.
Теорема 1 (Кронекера – Капелли).
Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными совместны тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы 
.
Следствия!!!
1. Если 
, то система не совместна.
2. Если 
(числу неизвестных), то система имеет единственное решение. Для отыскания этого решения берут n уравнений и решают любым методом.
, то система имеет множество решений. В этом случае решения находят следующим образом.
- Пусть 
.
- За свободные переменные принимают любые 
неизвестных.
- Оставшиеся r неизвестных выражают через свободные переменные.
- Свободным переменным придают некоторое значение и находят решение известными методами. Для других значений свободных переменных находят другие решения и т. д.
ПРИМЕР 2.
, 
,
множество решений. Примем 
свободных неизвестных. Пусть 
. Из второго уравнения 
. Из первого уравнения 
, 
или 
. Запишем решение: 
.
