Скалярное произведение векторов
Угол между векторами; направляющие косинус векторы
Цели занятия: познакомиться с понятием эвклидова пространства; на основе предыдущей лекции рассмотреть эвклидово пространство как частный случай; понять смысл скалярного произведения; научиться определять скалярное произведение векторов, представленных в различных видах.
Роль и место лекции.
Полученные знания будут необходимы для восприятия темы «Векторный анализ, элементы теории поля». Такое фундаментальное понятие, как «скалярное произведение» позволит взглянуть на понятие пространства с другой стороны и осознать, что эвклидово пространство – это некоторая часть нашего мира, удовлетворяющая лишь определенным условиям. На основе этого пространства формируются аксиомы. В другом пространстве может формироваться новая математика.
1. Понятие «эвклидово пространство»
Возьмем трехмерное линейное пространство L = 
.
Определение 1.
Скалярным произведением двух элементов 
и 
пространства L называется функционал 
, удовлетворяющий определенным свойствам:
. (1).
Обозначается скалярное произведение как 
или 
.
Возьмем n -мерное линейное пространство 
, в котором заданы два вектора 
и 
.
Скалярным произведением векторов 
и 
называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов.
. (2)
Проверим, удовлетворяет ли (2) определению 1.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Аналогичным образом необходимо проверять любые функционалы, претендующие на скалярное произведение. Возьмем пространство 
- квадрат интегрируемых функций
Определение 3.
Скалярным произведением функций 
и 
называется интеграл произведения этих функций на отрезке 
. (3)
Удовлетворяет ли выражение (2) условиям (1) предлагается проверить самостоятельно.
Определение 4.
Пространство, в котором определено скалярное произведение, называется эвклидовым, т. е. и – эвклидовы.
Теорема 1.
Всякое эвклидово пространство нормировано.
Доказательство.
Норма в эвклидовом пространстве задается как 
1) 
;
2) 
;
3) 
.
1. 
, следовательно, 
.
2. Для проверки второго условия воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:
. (4)
С учетом второго условия и (4) рассмотрим норму суммы:
.
3. 
= 
= 
.
Все три условия выполняются. Теорема доказана.
2. Скалярное произведение в трехмерном пространстве
Возьмем два вектора 
, 
.
Определение 5.
Скалярным произведением векторов в называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
, где 
. (5)
С учетом равенства 
запишем выражение (5)
. (6)
Покажем, что (5) также удовлетворяет условиям (1):
1) 
;
2) 
=(теорема 5, л. 2)= 
= 
;
3) 
;
4) 
.
ПРИМЕР 1.
под углом 
к поверхности прямолинейно 
перемещено тело. При этом работа, выполненная силой, будет равна произведению длины пути на произведение модуля силы и косинуса угла (рис. 1). Так как. 
, то 
. Работа есть скалярное произведение векторов силы и пути.
Теорема 2.
Два вектора перпендикулярны 
, когда их скалярное произведение было равно нулю. 
.
Доказательство.
Необходимость. Дано 
. Доказать, что 
.
Из определения 5 следует, что 
= 
, следовательно, .
Достаточность. Дано . Доказать, что .
. Тогда 
или 
, или 
. Поскольку рассматриваем не нулевые векторы, то .
Вывод!!! 
перпендикулярен любому вектору.
3. Скалярное произведение векторов
Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями: 
, 
.
Скалярное произведение этих векторов
, т. к. это базисные векторы и , а 
, так как 
. Поэтому
. (7)
Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями, – 
, 
. Из (5) 
. (8)
Найдем углы между вектором и базисными векторами 
. То есть 
, 
, 
(рис. 2).
Аналогично найдем остальные косинусы
. (9)
Определение 6.
Направляющим называется косинус угла между вектором и одним из базисных векторов. Единичный вектор может быть задан как 
.
Заключение
В лекции рассматривалось эвклидово пространство, математический и физический смысл скалярного произведения; изучено понятие «направляющий косинус». Отметим:
- в эвклидовом пространстве пространство должно быть задано скалярное произведение;
- скалярное произведение есть число;
- два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0;
- угол между векторами определяется их скалярным произведением и длинами векторов;
- единичный вектор можно задавать направляющими косинусами.
Литература
1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
Лекция 8
Определители, векторные и
