Теорема. Любое натуральное число т может быть записано в системе счисления с основанием р, причем запись эта единственная
(p Î N, р > 1).
Доказательство. Итак, необходимо представить число т в виде 
, где коэффициентами
являются цифрами р -ичной системы счисления. Рассмотрим последовательность чисел: р, р 2, р 3,..., рn, рn +1, ....
Среди членов этой последовательности найдем число р с наибольшим показателем степени, которое не превышает рассматриваемое натуральное число т. Пусть это будет рn, тогда рn ≤ m < pn +1.
1) Так как рn ≤ m, то т можно разделить на рn с остатком. Тогда получим: т = рn an + mn. Частное an и остаток mn всегда существуют и притом единственные, очевидно 0 < an < р и 0 ≤ тn < рn.
2) Полученный остаток тn разделим на pn -1 с остатком. Тогда получим: mn = рn -1 · an -1 + mn -1, очевидно 0 ≤ aп -1 < р и 0 ≤ тп -1 < рп -1.
3) Вновь найденный остаток тп -1 разделим на рп -2 с остатком. Тогда получим: mn -1 = рn -2 · an -2 + mn -2; 0 ≤ an -2< р и 0 ≤ тn -2< рn -2.
Процесс деления полученного остатка на соответствующую степень основания р аналогичным образом продолжим до конца.
n) На последнем шаге получим:
m 2= р · a 1+ m 1, 0 ≤ a 1< р и 0 ≤ т 1 < р. Обозначим т 1 = а 0.
Таким образом, подставляя значения остатков из выписанных выше равенств 1), 2), 3), …, n) получим: т = an · рn + an -1· рn -1 +... +
+ a 1 p + а 0, причем 0 ≤ ai < р (i = 0, 1, 2,..., n), или 0 ≤ ai ≤ р – 1, an ≠ 0.
Мы доказали, что любое натуральное число может быть представлено в р -ичной системе счисления, причем единственным образом.
П р и м е р 1. Запишите в восьмеричной системе счисления число 543710.
Перевод этого числа выполним, как было доказано в теореме.
Рассмотрим последовательность чисел: 8, 82, 83, 84, 85, …
(81 = 8, 82 = 64, 83=512, 84 = 4096, 85 = 32768).
Заметим, что 4096 < 5437 < 32768. Разделим 5437 на 84 с остатком. Тогда получим: 5437 = 1 · 84 + 1341. Продолжим деление, как описывалось выше:
1341 = 2 · 83 + 317;
317 = 4 · 82 + 61;
61 = 7 · 8 + 5;
Т.е. 5437 = 1 · 84 + 2 · 83 + 4 · 82 + 7 · 8 + 5;
543710 = 124758
На практике вычисления обычно ведутся в обратном порядке.
Рассмотрим снова тоже число 5437 и разделим его на 8.
5437 8
5 679
5437 = 8 · 679 + 5. Это означает, что наше число, кроме некоторого количества восьмерок, содержит еще 5 единиц, т.е. последняя цифра восьмеричной записи есть 5. Для получения следующей цифры нужно полученное частное снова разделить на 8.
Результат выполненных операций можно представить в таком виде:
5437 =8 · 679 + 5
5437 = 8(8 · 84 + 7) + 5
5437 = 8(8(8 · 10 + 4) + 7) + 5
5437 = 8(8(8(1 · 8 + 2) + 4) + 7) + 5 =
= 1 · 84 + 2 · 83 + 4 · 82 + 7 · 8 + 5.
Коротко решение этого примера записывается так:
 |
П р и м е р 2. Запишите в двоичной системе счисления число 4710. Используем тот же прием, здесь р = 2.
 |
Общее правило можно сформулировать так.
При переводе десятичного числа в р -ичную систему счисления цифрами, представляющими число в р -ичной системе счисления, будут остатки от последовательного деления этого числа и получаемых частных на р, записанные в обратном порядке.
Перевод чисел из р -ичной системы счисления в десятичную прост и основан на том, что запись натурального числа в любой позиционной системе счисления означает представление этого числа в виде суммы степеней основания с различными коэффициентами, меньшими основания. Например:
63758 = 6 · 83 + 3 · 82 + 7 · 8 + 5 = 332510
111012 = 24 + 23 + 22 + 1 = 16 + 8 + 4+1= 2910.
