Теоретико-множественное истолкование деления и деления с остатком

Пусть число элементов в объединении попарно непересекающихся равночисленных множеств равно n. Тогда возникают две задачи:

а) по числу n и в – числу множеств – найти число а элементов в каждом множестве;

б) по числу n и а – числу элементов в каждом из множеств – найти число в этих множеств.

В обеих задачах n = ав. Хотя по содержанию эти задачи отличны, в силу коммутативности умножения они сводятся к одной операции: деление одного натурального числа на другое. Итак, деление натуральных чисел связано с разбиением конечных множеств на равночисленные подмножества, никакие два из которых не имеют общих элементов в каждом подмножестве разбиения (так называемое деление на части) и отыскание числа таких подмножеств (так называемое деление по содержанию).

Рассмотрим два важных правила:

1) деление суммы на число; 2) деление произведения на число.

1) (а + в): с = а: с + в: с.

Пусть А и В два непересекающихся множества таких, что
n (А) = а, n (В) = в, и каждое их этих множеств можно разбить на с равночисленных подмножеств, тогда объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Итак, если каждое подмножество множества А содержит (а: с) элементов, каждое подмножество множества В содержит (в: с) элементов, то в каждом подмножестве объединения множеств А и В будет (а: с + в: с) элементов. Это значит, что
(а + в): с = а: с + в: с.

2) (ав): с = (а: с) · в.

Пусть А ₁, А ₂,..., А_в – попарно непересекающиеся равномощные множества, в каждом из которых а элементов, т.е. n (А ₁) = n (А ₂) =... =
= n (А_в) = а. При этом каждое из данных множеств можно разбить на подмножества по с элементов в каждом. Всего подмножеств в этом случае будет . Тогда (А ₁ А ₂ … А_в) допускает такое же разбиение, причем число подмножеств в этом объединении равно (а · в): с. Это значит, что (а · в): с = (а: с) · в.

Рассмотрим теоретико-множественный смысл деления с остатком. Пусть конечное множество А можно разбить на подмножества А ₁, А ₂,..., А_q, R, так что множества А ₁, А ₂,..., А_q будут равночисленными, а множество R будет состоять из меньшего числа элементов, чем каждое из множеств А ₁, А ₂,..., А_q. Тогда, если n (А) = а, n (А ₁) =... = n (A_q) = в, n (R) = r, то выполняется равенство n (А) = n (А ₁) + n (А ₂) +... + n (A_q) + n (R), т.е. а = в · q + r, где 0 £ r < в. Это значит, что q – число равночисленных множеств – является неполным частным при делении а на в – (число элементов в каждом из этих множеств), а число элементов в R – остатком при этом делении.

Вопросы и задания для самопроверки

1. С теоретико-множественных позиций докажите, что «число а меньше числа в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = в».

2. Используя теоретико-множественное истолкование вычитания и его свойств, решите следующие примеры из начального курса математики:

а) 48 – 30; б)12 – 5; в) (17 – 2) – 5;

г) 84 – (70 – 16); д) 24 + (76 – 28).

3. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств и, используя его, объясните, что:

а) 3 · 4 = 12; б) 4 · 1 = 4; в) 4 · 0 = 0.

4. Обоснуйте различные способы решения следующей задачи:

В вазе лежало 6 яблок и 4 апельсина, их нужно разделить между двумя детьми. Сколько фруктов получил каждый ребенок?

5. Объясните с теоретико-множественных позиций смысл следующего равенства: 15 = 7 · 2 + 1.

ГЛАВА VIII