Определение. Разностью а – в двух целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию: в + с = а.
Действие, с помощью которого находится разность чисел а – в, называют вычитанием.
Теорема 1. Разность двух целых неотрицательных чисел а – в существует тогда и только тогда, когда а ≥ в.
Доказательство. Докажем сначала достаточность названного условия, т.е. докажем, что если а ≥ в, то разность а – в существует. Пусть а ≥ в, значит ($ k Î N 0)[ a = в + k ]. Следовательно, разность а – в существует и равна k Î N 0.
Теперь необходимость. Т.е., если а – в существует, то а ≥ в. Итак, по условию разность а – в существует и пусть она равна некоторому целому неотрицательному числу k, т.е. а – в = k. Прибавим к обеим частям равенства целое неотрицательное число в, тогда получим:
в + (а – в) = в + k, или а = в + k Þ а ≥ в.
Теорема 2. Если разность целых неотрицательных чисел существует, то она единственная.
Доказательство. Пусть $ c 1, c 2 Î N 0, такие, что а – в = с 1 и а – в = с 2. Тогда а = в + с 1 и а = в + с 2, т.е. в + с 1 = в + с 2 Þ с 1 = с 2 , т.к., если бы с 1> с 2 Þ в + с 1> в + с 2 по свойству монотонности операции сложения (§ 8).
Теорема 3. (" a, в, с Î N 0) [ a ≥ в Þ (а – в) · с = а · с – в · с ].
Эта теорема выражает дистрибутивное свойство умножения относительно вычитания.
Доказательство. а · с = [ в + (а – в)] · с = в · с + (а – в) · с, т.е.
а · с = в · с + (а – в) · с, или (а – в) · с = а · с – в · с. Что и требовалось доказать.
Деление целых неотрицательных чисел
Определение. Частным а: в двух целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию а = в · с.
Действие, с помощью которого находится частное чисел а и в, называют делением.
Замечание. Рассмотрим частные случаи, возникающие при делении, когда хотя бы одно из чисел а или в равно 0.
Пусть а = 0, в ≠ 0. По определению а: в = с, если а = в · с. В последнем равенстве левая часть равна 0, значит и правая часть равна 0. Т.к. в ≠ 0, значит с = 0. Итак, при делении нуля на число не равное нулю, частное равно нулю.
Пусть теперь а ≠ 0, в = 0. Тогда равенству а = в · с не удовлетворяет ни одно целое неотрицательное с, в самом деле, при любом с левая часть равенства не равна 0, а правая равна 0. Итак, деление натурального числа на нуль невозможно.
Пусть а = в = 0. Тогда равенству а = в · с удовлетворяет любое число с. В этом случае деление не определено однозначно.
Теорема. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в ≤ а. Если частное существует, то оно единственно.
Доказательство существования частого.
Пусть частное натуральных чисел а и в существует, т.е. существует такое натуральное число с, что в · с = а. Для любого натурального числа с имеем, что 1 ≤ с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число в, получим в ≤ в · с. Так как в · с = а, то в ≤ а.
Доказательство единственности частного.
Предположим, что существует два частных q 1 и q 2, тогда в · q 1 = а, и в · q 2 = а или вq 1 = вq 2 Þ в (q 1 – q 2) = 0. Т.к. в ≠ 0, то q 1 – q 2 = 0, следовательно, q 1 = q 2.
Правила деления
1. Правило деления суммы на число. Если частные натуральных чисел а и с, в и с существуют, то
(а + в): с = а: с + в: с.
Доказательство. Пусть q 1 частное чисел а и с, q 2 – частное чисел в и с, т.е. а = с · q 1, в = с · q 2, следовательно, а + в = cq 1 + cq 2 = c (q 1 + q 2). Последнее равенство означает, что частное получаемое при делении а + в на с, равно q 1 + q 2, т.е. а: с + в: с.
Примечание: а: (в + с) ≠ а: в + а: с.
Например, 66: (2 + 4) ≠ 66: 2 + 66: 4.
2. Правило деления разности на число. Если частные натуральных чисел а и с, в и с существуют и а ≥ в, то (а – в): с = а: с – в: с.
Доказательство этого правила аналогично доказательству правила деления суммы на число. (Читателю предлагается выполнить его самостоятельно).
П р и м е р. 192: 4 = (200 – 8): 4 = 200: 4 – 8: 4 = 50 – 2 = 48.
3. Правило деления произведения на число. Если существует частное чисел а и с, то (а · в): с = (а: с) · в. Если существует частное чисел в и с, то (а · в): с = (в: с) · а.
Доказательство. Пусть частное чисел а и с существует и равно х, тогда а = с · х, умножим обе части этого равенства на в, получим
а · в = с · х · в = с · (в · х) и потому (а · в): с = в · х = в · (а: с) = (а: с) · в.
П р и м е р. 560: 7 = (56 · 10): 7 = (56: 7) · 10 = 80.
4. Правило деления числа на произведение. а: (в · с) = (а: в): с =
= (а: с): в. Докажем, что а: (в · с) = (а: в): с. Обозначим а: (в · с) = t Þ а = (в · с) · t. а: в = ((в · с) · t): в = с · t. (а: в): с = (c · t): с = t.
П р и м е р. 480: 60 = 480: (6 · 10) = (480: 10): 6 = 48: 6 = 8.
В начальном курсе математики определение деления как операции обратной умножению в общем виде не дается, но постоянно используется. В начальных классах дается пояснение: деление связано с умножением. Разделить 48 на 4 – значит найти число, которое при умножении на 4 дает 48. Это число 12. Значит, 48: 4 = 12.
Деление с остатком
Рассмотрим пример из начального курса математики:
7368 24
72 307
168
В этом примере пришлось 3 раза выполнять деление с остатком:
73: 24 = 3 (ост. 1);
16: 24 = 0 (ост. 16);
168: 24 = 7 (ост. 0).
С делением с остатком ученики знакомятся во втором классе на примерах: 11:2 = 5 (ост. 1), 19: 4 = 4 (ост. 3). Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.
Определение. Делением с остатком натурального числа а на натуральное число в называют правило, посредством которого находится пара натуральных чисел q – неполное частное и r – остаток, удовлетворяющих следующим условиям:
1) а = вq + r,
2) 0 ≤ r < в.
Теорема. Каковы бы ни были натуральные числа а и в частное q и остаток r при делении а на в всегда существуют и притом единственные.
Доказательство существования частного и остатка.
В случае, когда а делится на в, а: в = q (ост.0), значит, а = вq + 0, 0 ≤ 0 < в.
В случае, когда 0 < а < в и а не делится на в, а: в = 0 (ост. а), значит, а = в · 0 + а, 0 ≤ а < в.
В случае, когда а > в и а не делится на в (например.86: 10), для отыскания частного и остатка проведем следующие рассуждения. Рассмотрим возрастающую последовательность натуральных чисел, кратных в:
в · 1, в · 2, в · 3,..., в · q, в (q + 1), ….
Эта последовательность возрастающая, т.к. в ≥ 1. Нетрудно заметить, что число а расположится между двумя членами рассматриваемой последовательности, но ни с одним из членов последовательности совпадать не будет, т.к. по условию а не кратно в. Найдем наибольшее q, для которого в · q < a и в (q + 1) > а. Так как a > вq, то разность а – вq существует, т.е. а – вq = r, где r Î N 0, т.к. в (q + 1) > а, то вq + в > а и в > а – вq, т.е. в > r. Мы доказали, что найденное r < в. Итак, для всех возможных случаев:
1) а = вq + r,
2) 0 ≤ r < в.
Паре (а, в) поставили в соответствие пару (q, r).
Докажем единственность частного и остатка.
Предположим, что для пары (а, в) существует 2 пары чисел: 2 частных и 2 остатка, для которых:
.
Левая часть последнего равенства делится на в, значит и правая должна делиться на в, но r 1 < в, r 2 < в, значит r 2 – r 1 < в, отсюда
r 2 – r 1 = 0. Значит, r 1 = r 2 и q 1 = q 2. Единственность доказана.
Следствие. Если делимое и делитель при делении с остатком увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, а остаток, соответственно, увеличится или уменьшится во столько же раз.
Действительно, пусть а: в = q (ост. r), тогда:
1) а = вq + r,
2) 0 ≤ r < в.
Умножим обе части 1) и 2) на т Î N, получим:
1) am = вqт + rт,
2) 0 ≤ rm < вm.
Вопросы и задания для самопроверки
1. В чем суть аксиоматического способа построения математической теории?
2. Убедитесь, что отношение «непосредственно следовать за», заданное на множестве отрицательных целых чисел {–1, –2, –3,... } удовлетворяет аксиомам Пеано.
3. Докажите М.М.И., что для любого натурального числа n
12 + 32 + 52 +... + (2 n – 1)2 = 
.
4. Используя аксиоматическое определение сложения, найдите значение выражения: а) 3 + 2; б) 3 + 3; в) 3 + 4.
5. Используя аксиоматическое определение умножения, найдите значение выражения: а) 3 · 2; б) 3 · 3; в) 3 · 4.
6. Сформулируйте определение деления с остатком и, используя его, разделите с остатком 30 на 8; 30 на 6; 30 на 31.
Выполните соответствующие записи.
ГЛАВА VII
