Теоретико-множественное истолкование умножения

В § 6 главы VI дано аксиоматическое определение умножения целых неотрицательных чисел.

В начальной школе используется подход к определению умножения, основанный на понятии суммы одинаковых слагаемых.

Теорема 1. Если в > 1, то произведение чисел а и в равно сумме в слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму в слагаемых, каждое из которых равно а, через а · в и, кроме того, положим, что а · 1 = а. Тогда, по определению суммы, имеем:

.

Значит, операция а · в подчиняется тем же требованиям, что и операция умножения, определенная ранее (см. § 6 главы VI), а именно а · 1 = а и а · (в +1) = а · в + а. В силу единственности умножения получаем, что а · в = в · а.

Таким образом, если а и в – целые неотрицательные числа, то

а) а · в = при в > 1;

б) a · 1 = а при в = 1;

в) a · 0 = 0 при в = 0.

Для вывода законов умножения целых неотрицательных чисел удобнее другое теоретико-множественное истолкование произведения. Оно связано с декартовым произведением множеств. Рассмотрим сначала следующий пример. Найдем декартово произведение множеств А = { а, в, с } и В = { х, у }. Оно состоит из пар, которые мы запишем в виде прямоугольной таблицы.

(а, х), (а, у),

(в, х), (в, у),

(с, х), (с, у).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковый первый элемент, а в каждом столбце – одинаковый второй элемент. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов таблицы равно 2 + 2 + 2 = 6. С другой стороны n (А) = 3, n (В) = 2, 3 · 2 = 6. На этом примере видим, что число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств равно произведению чисел элементов в этих множествах.

Теорема 2. Пусть А и В – конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство n (А × В) = n (А) · n (В).

Доказательство. Пусть А = { а ₁, а ₂,..., а_q }, В = { в _l, в ₂, в ₃,..., в_k }, причем k > l. Составим декартово произведение А × В и запишем в виде таблицы:

(а ₁, в _l), (а ₁, в ₂), (а ₁, в ₃),..., (а ₁, в _k),

(а ₂, в ₁), (а ₂, в ₂), (а ₂, в ₃),..., (а ₂, в _k)

… … … … …

(а_q, в ₁), (а_q, в ₂), (а_q, в ₃),..., (а_q, в_k).

Число элементов в первой строке равно k, т.к. это элементы вида (a ₁, в_i), где 1 ≤ i ≤ k и т.д. в строке с номером q число элементов равно k. Всего элементов в таблице.

Сумма q слагаемых, каждое из которых равно k, это есть k · q. Итак, n (А × В) = k · q = n (А) · n (В). При k = 1, множество В содержит один элемент и число элементов декартова произведения равно q · 1 = q.

При k = 0 В = Æ, тогда q · 0 = 0.

Свойства умножения:

1°. Коммутативность. (" a, в Î N ₀)[ a · в = в · а ].
Так как А × В ~ В × А, то n (А × В) = n (В × А).

2°. Ассоциативность. (" a, в, с Î N ₀) [(a · в) · с = а · (в · с)].

Так как (А × В) × С ~ А × (В × С) Þ n ((А × В) × С) = n (А × (В × С)).

3°. Дистрибутивность относительно сложения.
(" a, в, с Î N ₀) [(а + в) · с = а · с + в · с ].

Так как (A B) × C ~ (A × C) (B × C), то

n ((A B) × C) = n ((A × C) (B × C)).