Все свойства сложения целых неотрицательных чисел выводятся из ранее указанных аксиом Пеано (§ 2) и аксиом сложения (§ 4).
1°. Ассоциативность сложения.
(" a, в, с Î N 0) [(a + в) + с = а + (в + с)].
Доказательство проведем методом математической индукции относительно с.
1) Проверим для с = 0, (а + в) + 0 = а + в по (А1) сложения. По этой же аксиоме слагаемое в можно заменить суммой (в + 0), т.е. получим (а + в) + 0 = а + (в + 0).
2) Допустим, что рассматриваемое равенство верно для с = k, т.е. (а + в) + k = а + (в + k). Докажем, что при этом допущении оно верно и для с = k ', т.е. (а + в) + k ' = а + (в + k ').
(а + в) + k ' = (по (А2) сложения)
= ((а + в) + k)' =(по допущению)
= (а + (в + k))' =(пo (A2) сложения)
= а + (в + k)' = (по (А2) сложения)
= а + (в + k ').
Т.е. равенство (а + в) + с = а + (в + с) истинно для любого c Î N 0, а поскольку числа а и в выбирались произвольно, то оно истинно и для любых a, в Î N 0.
2°. Коммутативность сложения
(" a, в Î N 0) [ a + в = в + а ].
Предварительно докажем М.М.И., что (" a Î N 0)[ a + 1= 1 + а ].
1) Проверим для а = 0. 0 + 1 = 0' = 1 и 1 + 0 = 1 по (А2) сложения. Равенство 0 + 1 = 1 + 0 истинно.
2) Допустим, что а + 1 = 1 + а. Докажем, что из этого допущения а ' + 1 = 1 + а ',
а ' + 1 = (обозначение а ' = а + 1)
= (а + 1) + 1 = (по допущению)
= (1 + а) + 1 = (по ассоциативности сложения)
= 1 + (а + 1) = (обозначение а + 1 = а ')
= 1 + а '. Т.е. а ' + 1 = 1 + а ' – истинное равенство.
Итак, (" a Î N 0)[ a + 1 = 1 + а ].
Перейдем к доказательству М.М.И. относительно в при фиксированном а коммутативного свойства сложения.
1) Пусть в = 0. Докажем, что (" a Î N 0)[ a + 0 = 0 + а ]. При а = 0 имеем 0 + 0 = 0 + 0 – истинное равенство. Допустим а + 0 = 0 + а. Докажем, что и а ' + 0 = 0 + а '.
а ' + 0 = (обозначение а ' = а + 1)
= (а + 1) + 0 = (по ассоциативности сложения)
= а + (1 + 0) = (по предварительно доказанному равенству)
= а + (0 + 1) = (по ассоциативности сложения)
= (а + 0) + 1 = (по допущению)
= (0 + а) + 1 = (по ассоциативности)
= 0 + (а + 1) – (обозначение а + 1 = а ')
= 0 + а '. Т.е. (" a Î N 0)[ a + 0 = 0 + а ].
2) Допустим, что для в = k a + k = k + а. Докажем, что при этом допущении и для в = k ' а + k ' = k ' + a.
а + k '= (по (А2) сложения)
= (а + k)' = (обозначение (а + k)' = (а + k) + 1)
= (а + k) + 1 = (по допущению)
= (k + a) + 1 = (по ассоциативности)
= k + (a + 1) = (по предварительно доказанному равенству)
= k + (1 + a) = (по ассоциативности)
= (k + 1) + a = (обозначение k + 1 = k ¢)
= k ' + а. Т.е. равенство а + в = в + а истинно для любого в Î N 0,
а поскольку числа а и в произвольны, то оно истинно и для любых
a, в Î N 0.
Умножение целых неотрицательных чисел
Аксиоматическое определение умножения целых неотрицательных чисел состоит из двух аксиом, обозначенных ниже (А1), (А2).
(А1). Произведение любого целого неотрицательного числа а и нуля равно 0, т.е. (" a Î N 0) [ a · 0 = 0].
(А2). (" a, в Î N 0) [ a × в ¢ = a · в + а ].
Приведенное аксиоматическое определение умножения само по себе еще не доказывает существование и единственность произведения целых неотрицательных чисел, поэтому требуется доказать специальную теорему о существовании и единственности произведения.
Теорема 1. (" a,в Î N 0) ($! c Î N 0)[ a × в = с ].
Доказательство проведем методом математической индукции относительно в при фиксированном а.
1) Для в = 0 а · в = а · 0 = 0 (А1) определено и притом единственным образом.
2) Предположим, что для некоторого целого неотрицательного числа в = k произведение а · k существует, равно целому неотрицательному числу с и является единственным, т.е. a · k = с.
Докажем, что при этом предположении и а · k ¢ существует и единственно, a · k ' = a · k + а = с + а, а сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует и является единственной по теореме о единственности суммы целых неотрицательных чисел (см. § 4). Следовательно, произведение a · k ' существует и является единственным.
Аналогично проводится доказательство рассматриваемой теоремы методом математической индукции относительно а при фиксированном в. Таким образом, теорема доказана для любых целых неотрицательных чисел а и в.
Теорема 2. (" a,в Î N 0) [ a ' · в = а · в + в ].
Доказательство проведем методом математической индукции относительно в.
1) Для в = 0 a ' · 0 = 0 + 0 = a · 0 + 0. Равенство верно.
2) Предположим, что для в = k а ' · k = ak + k. Докажем, что при этом предположении и для в = k ' а ' · k ' = ak ¢ + k ¢.
а ' · k ' = (по (А2) умножения)
= a ' k + a ' = (по предположению)
= (ak + k) + a ' = (обозначение а ' = а + 1)
= (ak + k) + (a + 1) = (по ассоциативности и коммутативности сложения)
= (ak + а) + (k + 1) = (А2 умножения и обозначению k + 1 = k ')
= ak ' + k '. Итак, для (" в Î N 0) a ' · в = а · в + в.
Аналогично проводится доказательство М.М.И. относительно а.
