I. Строим (изображаем) единичный отрезок е, соответствующий единице величины (кг, м, сек и т.д.), в которой задано условие задачи.
II. Строим (конструируем), исходя из данных задачи, отрезок а, соответствующий неизвестной (искомой) величине задачи.
III. Строим новый единичный отрезок e 1, соответствующий единице величины, через которую необходимо выразить ответ задачи (если построение такового отрезка требует условие задачи).
IV. Находим числовое значение длины искомого отрезка а, применяя при этом необходимую арифметическую операцию. Обосновываем выбор и использование этой операции (согласно определению операции и замечанию 1).
V. На основании полученного числового результата записываем ответ задачи в требуемой единице измерения величины (кг, м, сек и т.д.), согласно замечанию 2.
Перейдем к решению задач 1–5, условия которых даны ниже.
1. Женщина купила 3 кг сахара и 4 кг муки. Сколько кг продуктов было закуплено?
2. Длина шерстяного полотна была 8 метров, от него отрезали 3 метра. Сколько метров осталось в куске?
3. Мальчик купил 4 карандаша, заплатив по 3 коп. за каждый карандаш. Сколько копеек мальчик заплатил за карандаши?
4. 12 литров варенья разложили по трехлитровым банкам. Сколько потребовалось таких банок?
5. 12 литров варенья разложили в 4 банки, поровну в каждую банку. Сколько литров варенья было положено в каждую банку?
Решение задачи 1.
1. Строим единичный отрезок е, соответствующий массе 1 кг продуктов (т.к. в килограммах задано условие задачи).
1 кг
е
2. Согласно условию задачи необходимо найти общую массу всех закупленных продуктов. Для этого составим соответствующий этой массе отрезок а. Сначала построим отрезок АВ, соответствующий массе 3 кг сахара, тe (АВ) = 3.
Затем построим отрезок ВС (так, что: АС = АВ + ВС) – соответствующий массе 4 кг муки, те (ВС) = 4.
3 кг 4 кг
а
Построенный отрезок а = АС соответствует массе всех закупленных продуктов.
3. Т.к. АС = АВ + ВС, то (согласно определению суммы натуральных чисел и замечанию 1) длина суммы отрезков равна сумме их длин:
те (АС) = те (АВ) + те (BC) = 3 + 4 = 7.
4. Ответ. Закуплено 7 кг продуктов (согласно замечанию 2).
Решение задачи 2.
1. Строим единичный отрезок е, соответствующий 1 метру длины (в метрах задано условие задачи).
1 кг
е
2. Согласно условию задачи необходимо найти длину оставшегося куска полотна. Для этого составим соответствующий длине этого куска отрезок а. Сначала построим отрезок АС, соответствующий первоначальной длине полотна, те (АС) = 8. Затем построим отрезок АВ 
(так, что АС = АВ + ВС), соответствующий длине отрезанного куска, те (АВ) = 3.
Построенный отрезок а = ВС соответствует длине оставшегося куска полотна.
3. Т.к. АС = АВ + ВС, то (согласно определению разности натуральных чисел и замечанию 1) длина «разности» отрезков равна разности их длин:
тe (ВС) = те (АС) – те (АВ) =8 – 3 = 5.
4. Ответ. Длина оставшегося куска полотна 5 метров (согласно замечанию 2).
Решение задачи 3.
1. Строим единичный отрезок е, соответствующий стоимости 1 карандаша (в условии говорится об общей стоимости 4-х карандашей).
стоим. 1 каранд.
е
2. Согласно условию задачи необходимо найти стоимость 4-х карандашей. Для этого составим соответствующий стоимости этих карандашей отрезок а, состоящий из 4-х отрезков равных единичному отрезку е; а = 4 е или те (а)= 4.
3. Строим новый единичный отрезок е 1, соответствующий стоимости в 1 копейку (т.к. в копейках надо выразить ответ задачи). Для этого разобьем единичный отрезок е на три равных отрезка е 1, так, что е = 3 · е 1, или те 1(е) = 3 (т.к. 1 карандаш стоит 3 копейки).
е 1 е 1 е 1 е 1
1 коп.
е
4. Так как отрезок а необходимо измерить с помощью новой (более мелкой) единицы длины е 1 по сравнению со старой единицей длины е, то (согласно определению произведения и замечанию 1) результат можно найти путем умножения:
те 1(a) = те 1(е) · те (а) =3 · 4 = 12.
5. Ответ. Стоимость всех карандашей равна 12 копейкам (согласно замечанию 2).
Решение задачи 4.
1. Строим единичный отрезок е, соответствующий объему 1 литра варенья (в литрах задано условие задачи).
|
1 л
2. Согласно условию задачи необходимо измерить объем варенья с помощью банок. Для этого составим соответствующий этому объему отрезок а, состоящий из 12-ти отрезков, равных единичному отрезку е, а = 12 е или тe (а)=12.
е е е
3. Строим новый единичный отрезок е 1, соответствующий объему одной трехлитровой банки (т.к. ответ задачи требуется выразить в банках). Для этого составим отрезок е 1, состоящий из 3-х отрезков, равных единичному отрезку е.
 |
e l (объем 1 банки) е 1 = 3 е или те (е 1) = 3.
4. Так как отрезок а необходимо измерить с помощью новой (более крупной) единицы длины е 1 по сравнению со старой единицей длины е, то, согласно определению частного (1 случай) и замечанию 1, результат находим посредством деления:
те 1(a) = те (a): те (e 1) =12: 3 = 4.
5. Ответ. Потребуется 4 банки (согласно замечанию 2).
Решение задачи 5.
1. Строим единичный отрезок е, соответствующий объему 1 литра варенья (в литрах задано условие задачи).
|
1л
2. Согласно условию задачи необходимо узнать объем варенья разложенного в каждую из 4-х банок, если в каждую из банок положили варенья поровну. Для этого построим отрезок а, соответствующий объему всего варенья (12 литров), т.е. состоящий из 12-ти отрезков, равных единичному отрезку е, а = 12 е или те (а) = 12.
е е е
3. Затем разобьем этот отрезок а на 4 равных отрезка, каждый из которых обозначим е 1, т.к. все варенье разложили поровну в 4 банки.
Тогда а = 4 е 1 или 
(а) = 4.
Отрезок е 1 – соответствует объему варенья в каждой из банок.
4. Так как деление натуральных чисел отражает переход к новой (более крупной) единице длины е 1 (к банкам) и позволяет выразить его длину через старую единицу длины е, то, согласно определению частного (случай 2) и замечанию 1:
те (е 1) = те (a): те 1 (a) =12: 4 = 3.
5. Ответ. В каждую из банок положили по 3 литра варенья (согласно замечанию 2).
Вывод. Подход к натуральным числам как мерам величин позволяет обосновывать выбор действия при решении задач с различными величинами.
Вопросы и задания для самопроверки
1. При каких условиях натуральное число n называют мерой отрезка а?
2. Какова общая схема решения задач, связанных с обоснованием выбора арифметического действия?
3. Приведите графическую иллюстрацию условия задачи и обоснуйте выбор действия, которым она решается:
а) на 3 платья у портных пошло 12 м материи. Сколько метров материи пойдет на 2 таких же платья?
б) до обеда в буфете продали 5 трехлитровых банок сока, а после обеда 4 такие же банки. Сколько всего литров сока продали за день?
ГЛАВА IX
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
В предыдущих трех главах данного пособия были изложены различные подходы к определению понятия целого неотрицательного числа. В главе VI – аксиоматический подход, в котором число рассматривается как элемент натурального ряда; в главе VII – число это общее свойство класса конечных равномощных множеств; в главе VIII – число это отношение однородных величин (мера величины). Это все – вопросы математической теории, а к появлению такого абстрактного понятия, как натуральное число, привела практическая деятельность человека. Поэтому заслуживает внимания рассмотрение вопросов, связанных с наименованием (появление соответствующих терминов) и обозначением (возникновение системы знаков), натуральных чисел. Этот аспект связан с изучением системы счисления.
