Изучаемым понятиям дают определения. Дадим определение какому-нибудь математическому понятию, например, понятию «прямоугольник». «Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые».
В данном случае нас интересует понятие прямоугольника, но в предложении, которое мы только что записали, участвуют и другие понятия: параллелограмм, угол, прямой угол.
Дадим теперь определения перечисленным понятиям. «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны». В этом предложении мы снова употребили другие понятия «четырехугольник», «противоположные стороны», «параллельность».
Дадим определение понятия угла. «Фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом». Опять употребили другие понятия: «фигура», «луч», «плоскость», которые тоже нужно объяснять через другие.
Если мы будем объяснять каждое встречающееся понятие, то этот процесс никогда не кончится. Поэтому при построении математических теорий надо принять некоторые понятия за основные, неопределяемые понятия, и с их помощью строить все остальные понятия. Например, в школьной планиметрии (в определенной системе изложения) основными понятиями являются: точка, прямая, расстояние. В школьной стереометрии: точка, прямая, расстояние, плоскость. В алгебре высказываний: понятие высказывания. В теории множеств: множество. В арифметике: число.
Отличительной чертой математики, в противоположность другим наукам, является использование доказательств, а не наблюдений. Математик может при случае использовать наблюдение: например, он может измерить углы многих треугольников и прийти к выводу, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Однако он признает этот факт как математический закон только тогда, когда он будет доказан. Несмотря на это, ясно, что все математические законы невозможно доказать. Поэтому выбираются некоторые начальные законы, называемые аксиомами, которые принимаются без доказательства.
Метод логической организации множества предложений, составляющего теорию, называемый аксиоматическим, состоит в следующем:
1. Выделяются некоторые исходные (неопределяемые через другие) понятия и указываются неопределяемые отношения, связанные с этими понятиями. Все остальные понятия этой теории определяются через исходные.
2. Формулируются основные предложения, их называют аксиомами. Аксиомы принимаются без доказательства в данной теории, и на их основе доказываются другие предложения данной теории – теоремы. В аксиомах дается описание отношений между основными понятиями: они представляют, по существу, неявное определение основных понятий.
Разумеется, при построении аксиоматической теории выбор основных понятий, отношений и аксиом не является произвольным. Они должны отражать некоторые реальные объекты и их свойства.
Например, если бы задали аксиому: для любых трех точек А, В, М АМ ³ АВ + ВМ, то получилась бы теория, не имеющая отношения к реальному миру, т.к. в реальном мире АВ + ВМ ³ АМ. Итак, система аксиом должна, возможно, точнее отражать свойства реального мира, но кроме того она должна удовлетворять некоторым требованиям логического характера. Назовем основные из них. Система аксиом должна быть:
а) непротиворечивой, т.е. среди теорем, выведенных из данной системы аксиом, нет двух предложений типа А и 
, противоречащих друг другу;
б) независимой, т.е. ни одну из аксиом нельзя вывести из остальных аксиом этой системы;
в) категоричной, т.е. любые два множества, в которых эта система аксиом выполняется (эти множества называются моделями) изоморфны («одинаково устроены»).
Замечание. В аксиоматических теориях не говорят об «истинной природе» изучаемых объектов и понятий. Поэтому может оказаться, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют разные множества объектов и разные отношения между ними, т.е. можно построить разные модели данной системы аксиом.
