Любое рассуждение состоит из цепочки предложений, вытекающих друг из друга по определенным правилам. Среди предложений, в которых идет речь о свойствах или отношениях между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы (предикаты).
Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, об истинности или ложности которого имеет смысл говорить.
Приведем примеры высказываний:
1) Уфа – столица Башкортостана;
2) В Стерлитамаке зимой никогда нет снега;
3) Нью-Йорк – столица США;
4) 2 > 0;
5) –7 > – 8;
6) 4 + 1 = 5;
7) H 2 SO 4 – кислота;
8) Если число n делится на 4, то оно четное;
9) Неверно, что С.-Петербург – столица России;
10) Пальмы растут в Крыму и на берегу Белого моря;
11) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Из определения ясно, что высказываниями не являются вопросительные и восклицательные предложения.
Не являются высказываниями и определения понятий, хотя они имеют форму повествовательного предложения, поскольку представляют собой условное соглашение о введении нового термина.
Предложения, содержащие переменные (х + 2 = 5 и т.д.), тоже не являются высказываниями. Не высказывания и предложения такого типа: «Завтра будет снег», «В субботу я получу оценку 5» и т.д.
Высказывания обозначаются большими латинскими буквами А, В, С и т.д. Каждому высказыванию приписывается значение истинности. Если высказывание А истинно, то записывается А – «И»; если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «Л». Любое высказывание может принимать только одно из двух значений истинности.
Высказывания бывают элементарными и составными. Примеры элементарных высказываний среди приведенных выше: 1), 3), 4), 5), 6), 7). Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если... то», «либо... либо», «тогда и только тогда», а также частицу «не». Такие высказывания называются составными, а входящие в них высказывания – элементарными. Примеры составных высказываний из приведенных выше: 2), 8), 9), 10), 11).
Два составных высказывания называют равносильными (эквивалентными), если они одновременно «И» или «Л» при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут: А Û В (или А = В).
Операции, выполняемые над высказываниями и порождающие новые высказывания, будем называть логическими операциями.
Приступая к определению логических операций, мы ставим перед собой задачу, чтобы эти определения как можно лучше соответствовали обычному смыслу, в котором употребляются слова «не», «и», «или», «если... то», «если и только если» в естественном (русском) языке.
Замечание. Синонимами слова «высказывание» являются слова: «суждение», «утверждение», «предложение». Из контекста изложения бывает ясно, почему предпочтение отдано именно этому термину.
Конъюнкция высказываний
Пусть А и В – два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и» получим новое высказывание, которое называют конъюнкцией данных высказываний и обозначается А Ù В. Итак, А Ù В читают: «А и В».
Определение. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание 
, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.
Таблица истинности конъюнкции имеет вид (табл. 1):
Таблица 1
| А | B | А Ù В |
| И | И | И |
| Л | И | Л |
| И | Л | Л |
| Л | Л | Л |
П р и м е р. Высказывание «5 – число целое и 6 – число четное» – истинно, так как оба составляющих его элементарных высказывания истинны. Высказывание «2 < 5 и 5 < 10» можно записать так:
2 < 5 < 10. Вообще, двойное числовое неравенство представляет собой конъюнкцию двух числовых неравенств.
Если в А Ù В поменять местами А и В, то получим В Ù А. Составим таблицу истинности (табл. 2).
Таблица 2
| А | B | А Ù В | В Ù А | |
| И | И | И | И | |
| И | Л | Л | Л | |
| Л | И | Л | Л | |
| Л | Л | Л | Л | |
Из таблицы 2 видно, что при разных значениях А и В конъюнкции А Ù В и В Ù А одновременно истинны или ложны. Следовательно, А Ù В = В Ù А. Эта запись означает коммутативное свойство конъюнкции, т.е. высказывания в конъюнкции можно поменять местами.
Составим таблицу истинности для А Ù (В Ù С) и (А Ù В) Ù С (табл. 3).
Таблица 3
| А | B | C | А Ù (В Ù С) | (А Ù В) Ù С |
| И | и | и | и | И |
| Л | и | и | л | Л |
| и | Л | и | л | Л |
| и | и | Л | л | Л |
| Л | Л | и | л | Л |
| Л | и | Л | л | Л |
| и | Л | Л | л | Л |
| Л | Л | Л | л | Л |
Из таблицы 3 видно: при различных значениях А, В и С высказывания 
и (А Ù В) Ù С одновременно истинны или ложны. Следовательно, А Ù (В Ù С) = (А Ù В) Ù С. Эта запись означает ассоциативное свойство конъюнкции. Ассоциативность конъюнкции имеет место для трех и более высказываний и позволяет опускать скобки и писать А Ù В Ù С Ù D Ù ….
Дизъюнкция высказываний
Соединив два элементарных высказывания А и В союзом «или» получим новое высказывание, которое называют дизъюнкцией высказываний и обозначают A Ú B. Итак, A Ú B читают: «A или В».
Определение. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание 
, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А и В.
Таблица истинности дизъюнкции имеет вид (табл. 4):
Таблица 4
| А | В | A Ú B |
| И | и | и |
| И | л | и |
| л | и | и |
| Л | Л | Л |
По-прежнему употребляем союз «или» в «неразделительном смысле». Если необходимо подчеркнуть разделительный смысл, то употребляют союз «либо,..., либо». Например: «Завтра в 5 часов я пойду либо в кино, либо к тебе в гости».
Пусть заданы элементарные высказывания «5 > 3», «5 = 3», образуем их дизъюнкцию «5 > 3 или 5 = 3». Она истинна. Короче, высказывание 5 ³ 3 истинно. Вообще, любое нестрогое неравенство представляет собой дизъюнкцию строгого неравенства и равенства.
Например, неравенства 5 £ 5, 10 ³ 8, 18 £ 25 истинны, а неравенства 2 ³ 5, 4 £ 3 ложны.
Для дизъюнкции, как и для конъюнкции, можно указать ряд равносильностей: A Ú B Û B Ú A, A Ú (B Ú C) Û (A Ú B) Ú C – коммутативность и ассоциативность дизъюнкции. Эти равносильности устанавливаются с помощью таблиц истинности (выполните самостоятельно).
Ассоциативность дизъюнкции имеет место для трех и более высказываний и позволяет опускать скобки и писать А Ú В Ú С Ú D и т.д.
Запишем таблицу истинности для (A Ù B) Ú C и (A Ú C) Ù (B Ú C) (табл. 5).
Таблица 5
| А | B | C | (А Ù В)Ú С | (A Ú C) | (B Ú C) | (A Ú C)Ù(B Ú C) |
| И | И | И | И | И | И | И |
| И | Л | И | И | И | И | И |
| Л | И | И | И | И | И | И |
| Л | Л | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | И | Л | Л |
| Л | И | Л | Л | Л | И | Л |
| Л | Л | Л | Л | Л | Л | Л |
Из таблицы следует вывод: (А Ù В) Ú С = (A Ú C) Ù (B Ú C). Имеет место и такое равенство: (A Ú B) Ù C = (A Ù C) Ú (B Ù C) (проверьте самостоятельно).
Отрицание высказываний
В обыденной речи мы часто пользуемся словом «не» и словами «неверно, что», когда хотим что-то отрицать. Например, если мы хотим отрицать, что «точка X лежит на прямой х», мы говорим «точка X не лежит на прямой х» или «неверно, что точка X лежит на прямой х». Нетрудно заметить, что значения истинности данного высказывания и полученного находятся в определенной связи. Если данное высказывание истинно, то полученное – ложно и наоборот.
Определение. Отрицанием некоторого высказывания А называют такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Обозначают символом 
, читается «не А».
Из приведенных выше примеров ясно, что отрицание некоторого высказывания А можно получить, если перед данным высказыванием поставить слова «неверно, что» или перед сказуемым поставить частицу «не».
Таблица истинности для имеет вид (табл. 6):
Таблица 6
| А | 
|
| И | Л |
| Л | И |
П р и м е р ы.
1) А – «18 четное число», – «18 – не является четным числом».
2) А – «Иванов не сдал экзамен», – «Иванов сдал экзамен».
Так как отрицание А есть некоторое высказывание , то можно образовать отрицание высказывания , его обозначают 
и называют двойным отрицанием высказывания А. Составим таблицу истинности для 
(табл. 7).
Таблица 7
| А | 
| 
|
| И | Л | И |
| Л | И | Л |
Из таблицы видно, что = А.
П р и м е р: А – «18 – четное число», – «18 – не является нечетным числом».
Образуем конъюнкцию высказывания А и и составим для нее таблицу истинности (табл. 8).
Таблица 8
Видим, что формула А Ù тождественно ложна. Равенство А Ù = Л означает, что высказывание вида «А и не А» всегда ложно, какое бы ни было высказывание А.
Этот закон А Ù = Л называют законом противоречия.
Не могут быть одновременно истинными две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одно и тоже время и в одном и том же отношении.
Образуем теперь дизъюнкцию некоторого высказывания А и его отрицания и составим для нее таблицу истинности (табл. 9).
Таблица 9
| А | 
| 
|
| И | Л | И |
| Л | И | И |
В этом случае говорят, что формула А Ú тождественно истинна.
Закон А Ú = И называют законом исключенного третьего. Выполняется хотя бы одно из высказываний А или . В математике такая дизъюнкция часто встречается при разборе каких-то взаимоисключающих друг друга случаев.
Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими соотношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности (докажите самостоятельно):
а) 
= 
; б) 
= 
.
Эти соотношения называют законами де Моргана.
Импликация высказываний
Рассмотрим составное высказывание, которое образовано из двух элементарных при помощи слов «если..., то».
Определение. Высказывание «если А, то В» называют импликацией высказываний и обозначают А Þ В. Импликация А Þ В ложна тогда и только тогда, когда А – «И»; В – «Л», в остальных случаях импликация истинна.
Здесь А называют условием импликации, В называют ее заключением.
Таблица истинности для импликации выглядит так (табл. 10).
Таблица 10
| А | В | А Þ B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
Импликация двух высказываний может быть выражена через отрицание и дизъюнкцию, для любых высказываний А и В:
(A Þ B) Û ( Ú B). Для проверки составим таблицу (табл. 11).
Таблица 11
| А | В |
| А Þ В | Ú B
|
| И | И | Л | И | И |
| И | Л | Л | Л | Л |
| Л | И | И | И | И |
| Л | Л | И | И | И |
Пусть имеется импликация А Þ В. Из нее можно получить новую импликацию В Þ А, в которой переставлены местами условие и заключение. Эту новую импликацию называют обратной данной. Например, А Þ В: «если число 396 делится на 9, то сумма его цифр делится на 9». А Þ В – «И». Построим обратную импликацию В Þ А: «если сумма цифр числа 396 делится на 9, то и само число делится на 9». В Þ А – «И». Но не всегда обратная импликация для истинной импликации является истинной. Например, данная импликация (А Þ В): «если 25 делится на 10, то 25>10» – «И». Обратная ей импликация (В Þ А): «если 25>10, то 25 делится на 10» – «Л». Из данной импликации А Þ В можно образовать еще две новые импликации. Заменим в данной импликации (А Þ В) условие и заключение их отрицаниями (
), получим импликацию противоположную данной. Заменим теперь в данной импликации (А Þ В) условие отрицанием заключения, а заключение отрицанием условия (
), получим импликацию противоположную обратной. Докажем с помощью таблиц истинности равносильности А Þ В Û 
и В Þ А Û (табл. 12 и 13).
Равносильность А Þ В Û называют законом контрапозиции. Составим отрицание импликации А Þ В, получим:
Û 
= 
Û 
.
Это означает следующее: чтобы доказать, что из А не следует В, надо показать, что А истинно, а В ложно.
