Схема Бернулли

Повторные испытания – это последовательное проведение раз одного и того же опыта или одновременное проведение одинаковых опытов.

Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний) называется последовательность испытаний таких что:

1. при каждом испытании различают два исхода - появление некоторого события А (удача) и не появление (неудача);
2. испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в испытании не зависит от исходов в предыдущих испытаниях;
3. вероятность успеха во всех испытаниях постоянна Р(А)=р, соответственно вероятность неудачи q=1–p.

Примеры реальных испытаний, которые вписываются в рамки схемы Бернулли:

1. подбрасывание раз монеты (успех – герб: p=½, q =½), игральной кости (успех -выпадение 6: p =1/6, q=5/6) - идеальное соответствие схеме Бернулли.
2. выстрелы стрелка по мишени (успех – попадание, p - вероятность попадания), соответствие схеме Бернулли очень приближённо, т.к. независимость результатов стрельбы может быть нарушена либо из–за пристрелки, либо из–за усталости стрелка.
3. испытание приборов в течение заданного срока (р – вероятность безотказной работы); обычно хорошо согласуется со схемой Бернулли.

Основной задачей является вычисление вероятности того, что при испытаниях событие А произошло ровно раз. Важно подчеркнуть, что нам не важно, в какой последовательности произошли события. Например, если речь идёт о появлении события А 2 раза в 4 испытаниях, то комбинация (У-успех, Н-неудача) УННУ устраивает так же как и УУНН.

Теорема. Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно успехов, определяется формулой Бернулли ,

где C_n^k: сочетание- количество способов из множества, содержащего элементов выбрать множество, содержащее из элементов .