Свойства вероятности

1.Если А - достоверное Р(А)= 1; т.к. m= n

2. Если А – невозможное Р(А)= 0; т.к. m=0

3. Вероятность любого события А 0 Р(A) всегда, т.к. 0 .

 

Недостатки классического определения:

1. Требование конечного (в крайнем случае - счетного) числа элементарных исходов.

2. Требование симметрии опыта, т.е. равновозможности исходов.

 

Первый недостаток преодолевается путем введения геометрической вероятности.

Пусть на плоскости имеется область Q, в ней содержится подобласть .

 

В область Q наудачу бросается точка. Наудачу здесь значит, что брошенная точка может попасть в любую точку области Q; вероятность попадания в какую-либо часть области q пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее формы и расположения внутри большой области. Вопрос: какова вероятность события А - что точка попадет в область q?

P(A)= - отношение площадей.

 

V Q – круг радиусом 10см, q – круг радиусом 5см, P(A)=

Определение геометрической вероятности обобщается на любую меру области (отрезок, объем и т.д.). Обозначив меру как mes, получим

Р(А)

Таким образом, введением геометрической вероятности мы избавились от счетности (и, тем более, конечности) элементарных исходов. Но – увы!-требование равновозможности исходов никуда не делось.

 

Статистический подход к определению вероятности.

 

В задачах технического или естественнонаучного характера требование равновозможности исходов выполняется крайне редко. Классическим путем нельзя вывести вероятность распада атома радия за определенный период времени или определить вероятность рождения близнецов.

Пусть проводится серия из n опытов, в каждом из которых может случиться или не случиться событие А.

Относительной частотой называется отношение количества событий, где А произошло , к общему числу опытов :

Понятие частоты является основным при экспериментальном изучении случайных событий. Частота не может служить объективной характеристикой изучаемого случайного события, так как зависит от случайного стечения обстоятельств, связанных с данной серией испытаний, от индивидуальных особенностей самого экспериментатора.

Однако с увеличением числа испытаний частота становится «устойчивой». Теория вероятностей предназначена для описания случайных событий, обладающих устойчивой частотой. Вероятность случайного события соответствует в идеализированном виде тому пределу, к которому стремится устойчивая частота события при неограниченном увеличении числа испытаний.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности

1. Если А - достоверное = 1; т.к. m= n

2. Если А – невозможное = 0; т.к. m=0

3. Вероятность любого события А 0 всегда, т.к. 0 .

Недостатки статистического определения вероятности: необходимо приводить большое (и, неизвестно насколько большое) число испытаний.

 

В чем принципиальная разница классического и статистического подходов? Классическую вероятность можно вычислить до испытания, да и самогоиспытания можно не проводить. Относительную частоту можно вычислить только после проведения испытания. (J до того и после того)

Соответствие между классическим и статистическим определениями было выявлено еще в период становления теории вероятностей как теории азартных игр. Было установлено, что при корректном использовании классического определения вероятность событий практически совпадает с их частотами при большом числе повторений эксперимента.

V J Есть кости и час времени. Нужно установить, нет ли свинца в шестерке. Как?

 

ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ

 

Прежде чем ввести аксиоматическое определение вероятности, рассмотрим, какие действия можно производить над событиями. Для простоты мы будем рассматривать классическую схему с равновозможными исходами.

Мы уже ввели понятие элементарного – простейшего, неделимого исхода испытания и определили, что множество всех элементарных исходов называется пространством элементарных исходов Ω.

V Испытание: подбрасывание 2 монет.

V Испытание: вытаскивание костяшки домино

Напомним, что случайное событие А - произвольное подмножество пространства элементарных исходов Ω ().

V Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: ٱ + ٱ ≥ 10 ={ |5|5|, |5|6|, |6|6|, |6|4|}

Событие B: ٱM 3 и ٱ M 3 ={|3|3|,|3|6|,|6|3|,|6|6|}

Событие C: ٱM 2 - много

Событие D: ٱ ≥ 0, ٱ ≥ 0, D = Ω

Событие Е: ٱ + ٱ ≥ 15 E = Æ

 

Т. о. очевидно однозначное соответствие между множествами и событиями. Рассмотрим те события, определения которых мы уже дали.

 

	Множество	События
Ω	Множество (универсум)	Пространство элементарных исходов
wiєΩ	Элемент множества	Элементарный исход
A Ì Ω	Подмножество	Событие
A = Ω	A = Ω	Достоверное событие
B = Æ	Æ	Невозможное событие

 

Теперь рассмотрим действия над событиями, воспользовавшись диаграммами Эйлера-Венна.

Произведением двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события А и В, т. е. состоящее из исходов, которые принадлежат и А и В.

 

С = АВ, С = АÇВ - пересечение.

 

 

V Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: ٱ + ٱ M 3

Событие В: ٱ + ٱ M 2

Событие С =АВ: ٱ + ٱM 6

 

События А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием.

АВ = Æ, АÇВ = Æ

 

 

 

V Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: дубль

Событие В: ٱ + ٱ –нечетное число

Событие С =АВ=Æ

Суммой двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В., т. е. С состоит из исходов которые принадлежат хотя бы одному из подмножеств А или В.

С = А + В,С = АÈВ

 

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

 

JV Испытание: ожидание в тоске

Событие : приходит Вася.

Событие : приходит Маша.

Событие : приходит куратор.

Событие : приходит декан.

 

Событие В: приходит хоть кто-нибудь

 

Событием Ā, противоположным событию А называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит А.

Ω

Ā * А = Æ

А + Ā = Ω

 

V Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: дубльпусто

Событие Ā: все остальное

 

Аксиоматический подход к определению вероятности.

 

Любая уважающая себя точная наука имеет аксиоматическое построение. Т.е. вводятся неопределяемые аксиоматические понятия, формулируется система аксиом и на этой основе строятся основные определения, утверждения и теоремы. Классический еще школьный пример – эвклидова геометрия.

Теория вероятности вплоть до 30-ых годов прошлого века не считалась точной математической наукой, пока Колмогоров не поставил ее на строгую аксиоматическую основу. Аксиоматическое определение вероятности включает в себя как частные случаи классическое и статистическое определения и преодолевает недостатки каждого

Дадим популярное истолкование σ – алгебры событий. Рассмотрим следующий опыт: подбрасывание пирамиды с неравными гранями (и следовательно с неравновозможными исходами).

Пространство элементарных исходов Ω={w₁, w₂, w₃, w₄}, {w₁}, {w₂}, {w₃},{w₄} – выпадает грань с таким то номером. Любое событие АÌΩ. Сколько всего событий может быть?

1. События, включающие в себя только один исход. Подчеркнем, что они неравновозможны.

{w₁}, {w₂}, {w₃},{w₄}

2. События, включающие в себя по 2 исхода (например, номер грани – четный).

{w₁, w₂}, {w₂, w₃}, {w₁, w₃},{w₂, w₄},{w₁, w₄},{w₃, w₄}.

3. События включающие в себя по 3 исхода (например, номер грани <4).

{w₁, w₂, w₃}, {w₁, w₂, w₄}, {w₂, w₃, w₄}, {w₁, w₃, w₄}.

4. Событие, включающее в себя 4 исхода (например, номер грани <10).

{w₁, w₂, w₃, w₄} – Ω. Это достоверное событие

5. Событие, не включающее в себя ни одного исхода (например, номер грани >10).Это невозможное событие Æ.