КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
и ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ
Часть 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Введение
События бывают случайные и неслучайные (детерминированные, закономерные). Попробуем привести примеры неслучайных явлений, процессов, свободных от неожиданностей. Полет самолета на автопилоте (J без вмешательства птиц и ракет) на заданной высоте можно считать строго горизонтальным. Хотя фактически происходят отклонения центра массы от прямой и колебания самолета вокруг центра масс из-за турбулентности атмосферы.
Постоянно ли напряжение в сети? Возьмем 10 одинаковых лампочек. Проработают ли они одинаковое время? J Закономерна ли наша встреча здесь и сейчас, особенно если вспомнить о выборе специальности, сдаче сессии, транспорте и т.д.
Есть ли вообще явления, события, процессы свободные от вмешательства случайных факторов в той или иной форме?
Однако в ряде практических и тем более теоретических задач случайным элементом можно пренебречь, рассматривая упрощенную модель явления. Такая схема изучения явления называется детерминистской. Согласно этой схеме при решении любой задачи выделяются основные условия, выясняется на какие параметры они влияют. Затем применяется тот или иной матаппарат (например, составляется и решается система дифференциальных уравнений). Таким образом выясняется основная закономерность, свойственная данному явлению, и дающая возможность предсказать результат опыта по заданным начальным условиям. Это классический подход для точных наук – химии, физики, механики, техники.
Однако есть задачи, где результат опыта существенно зависит от столь большого количества факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все.
VБросание 3 костей и ожидание выпадения 3 шестерок.
V Поведение молекулы газа в кубе. Если есть 1 молекула с заданной массой и скоростью, можно запрограммировать ее поведение. 2 молекулы. Сложнее. 3 молекулы. Еще сложнее и дольше. А 10000 молекул?
Вот здесь уже нужен вероятностный (статистический) подход. Цель вероятностных методов – в том, чтобы минуя слишком сложное (а иногда и невозможное) исследование отдельного явления, обратиться непосредственно к законам, управляющих массами таких явлений.
ТВ – это математическая теория, которая имеет свои инструменты исследования, которые мы рассмотрим в дальнейшем. В каких случаях их можно использовать?
ТВ не занимается изучением уникальных событий, которые не допускают повторений. ТВ занимается массовыми явлениями, т. е. явлениями, которые могут быть осуществлены большое количество раз в относительно неизменных условиях.
Рассмотрим электрические лампочки. У одной срок службы –2001 ч., у другой – 1500, третья перегорела сразу. Случайные события? Да. Можем применить аппарат ТВ? Как? Если мы будем наблюдать за 1000 лампочек, то обнаружим закономерность. Чем больше опытов, тем она виднее. Результаты будут группироваться относительно симметрично относительно некоторого среднего значения срока работы лампочки.
Практика показывает, что наблюдая массу однородных явлений, мы часто обнаруживаем в них своего рода устойчивости. Всем известно, что вероятность выпадения герба (и, соответственно, решки) – 0.5. Если мы кинем монетку 4 раза, обязательно ли герб выпадет дважды? А если 1000 раз? А больше? Чем больше – тем отношение числа выпавших гербов к общему числу бросаний будет ближе к 0.5. Частота рождения мальчиков в самых разных странах мира примерно 0.51. Частота встречаемых различных букв в больших текстах тоже различна и устойчива, на чем основаны некоторые методы расшифровки.
ТВ зародилась в 17 в. при разработке теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Затем эти методы стали применяться в практике первых страховых компаний для установления разумных страховых премий. Сегодня вероятностные методы широко применяются практически во всех отраслях науки, техники, экономики.
