Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа т×п, или квадратные порядка п.

Пусть А = , B = .

Тогда сумма матриц С = А + В имеет вид

С = ,

где c₁₁ = a₁₁ + b₁₁, c₁₂= a₁₂ + b₁₂, … c_ij = a_ij + b_ij, …, c_mn = a_mn + b_mn.

1. Сложить матрицы А и В, если: а) А = , В =

; б) А =

, В =

; в) А = , В = . Р е ш е н и е: а) Здесь А и В – прямоугольные матрицы типа 2 × 3. Складываем их соответствующие элементы: С = А + В = . б) Здесь А и В – квадратные матрицы третьего порядка. Складываем их соответствующие элементы: С = А + В =

. В) Эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, т.к. А есть матрица типа 3×2, а В – матрица типа 2×3; можно складывать только прямоугольные матрицы одного типа.

Из выше изложенного следует, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1) переместительный закон сложения: А + В = В + А, где А и В – либо квадратные матрицы одного порядка п, либо прямоугольные матрицы одного типа т×п;

2) сочетательный закон сложения: (А + В) + С = А + (В + С), где А, В и С - либо квадратные матрицы одного порядка п, либо прямоугольные матрицы одного типа т×п;

Для любой матрицы А существует матрица – А, такая, что А + (- А) = 0, т.е. матрица, противоположная А.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой ka_ij, т.е. если А = , то kA = .

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

2. Умножить матрицу А = на число k = 3. Р е ш е н и е. 3А = . 3. Найти матрицу, противоположную матрице А = . Р е ш е н и е. Для нахождения противоположной матрицы умножаем матрицу А на k = -1. - А = . 4. Найти линейную комбинацию 3А – 2В, если А = , В = . Р е ш е н и е. Сначала находим произведение А на k ₁ = 3 и k₂ = -2. 3А = , -2В = . Теперь найдем сумму полученных матриц: 3А – 2В = .

Умножение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть

А = , B = .

Произведением этих матриц называется матрица

С = АВ = .

Чтобы найти элемент с₁₁ первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b₁₁ и b₂₁) и полученные произведения сложить: c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁.

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i – той строки и j – того столбца матрицы-произведения, нужно все элементы i – той строки (а_i1, а_i2, …, а_in) матрицы А умножить на соответствующие элементы j – того столбца (b₁_j, b₂_j, …, b_nj) матрицы B и полученные произведения сложить.

5. Найти произведение матриц А и В, если А = , В = . Р е ш е н и е. Найдем каждый элемент матрицы-произведения: c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁ = 3·1 + 1·2 + 1·1 = 6; c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ +a₁₃b₃₂ = 3·1 + 1·(-1) + 1·0 = 2; c₁₃ = a₁₁b₁₃ + a₁₂b₂₃ + a₁₃b₃₃ = 3·(-1) + 1·1 + 1·1 = -1; c₂₁ = a₂₁b₁₁ +a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁ = 2·1 + 1·2 + 2·1 = 6; c₂₂ = a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ +a₂₃b₃₂ = 2·1 + 1·(-1) + 2·0 = 1; c₂₃ = a₂₁b₁₃ +a₂₂b₂₃ +a₂₃b₃₃ = 2·(-1) + 1·1 + 2·1 = 1; c₃₁ = a₃₁b₁₁ + a₃₂b₂₁ + a₃₃b₃₁ = 1·1 + 2·2 + 3·1 = 8; c₃₂ = a₃₁b₁₂ + a₃₂b₂₂ + a₃₃b₃₂ = 1·1 + 2·(-1) + 3·0 = -1; c₃₃ = a₃₁b₁₃+ a₃₂b₂₃ + a₃₃b₃₃ = 1·(-1) + 2·1 + 3·1 = 4. Следовательно, С = .

Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц.

6. Найти произведение АВ, если А = Р е ш е н и е. АВ =

Если в этом примере мы попытаемся найти произведение ВА, то убедимся, что это невозможно.

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Пусть А = , В = . Найдем произведения АВ и ВА:

АВ =

ВА = .

Видно, что АВ≠ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Можно проверить, что для умножения матриц выполняется сочетательный и распределительный законы умножения: А(ВС) = (АВ С, (А +В)С = АВ + ВС.

Отметим следующий любопытный факт. Известно, что произведение двух, отличных от нуля чисел, не равно нулю. Для матриц это не всегда справедливо, т.е. возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например, если А = В = , то

АВ = .