Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 +…+ainAin
или
D = a1jA1j + a2jA2j +…+anjAnj.
Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i-той строки или j-того столбца.
5. Определитель D =  разложить: а) по элементам 1-й строки; б) по элементам 2-го столбца.
Р е ш е н и е.
а) D = 3·(-1)1+1  + 1·(-1)1+2  + 2·(-1)1+3  = 3(4 – (-20)) – (-2 – 0) +2(4-0) = 72 + 2 + 8 =82.
б) D = 1· (-1)1+2  + 2· (-1)2+2  + (- 4)· (-1)3+2  = -(-2 – 0) + 2(6 – 0) +4(15 – (-2)) = 2 + 12 + 68 = 82.
|
Если определитель имеет четвертый или более высокий порядок, то его также можно разложить по элементам строки или столбца, а затем понижать порядок алгебраических дополнений.
6. Вычислить определитель D =  .
Р е ш е н и е. Разложим определитель по элементам 1-й строки (так как она содержит два нулевых элемента):
D = 3  - 0·  + 2  - 0·  .
Поскольку второй и четвертый члены разложения равны нулю, имеем
D = 3  + 2  =
= 3  + 2  = 3· (-6 - 2 +16) +2· (-72 + 33)=
= 24 – 78 = - 54.
|
Перечислим различные способы вычисления определителей:
1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители второго и третьего порядков, а для определителей более высокого порядка применим следующий способ.
2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.
3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 7 треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
Чтобы получить треугольный определитель, нужно, используя свойство 6, к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца) до тех пор, пока не придем к определителю треугольного вида.
