Закон больших чисел в форме теоремы Маркова

относится к той ситуации, когда рассматриваются зависимые случайные величины.

Если имеются зависимые случайные величины и если при

то среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Согласно теоремам о числовых характеристиках для зависимых случайных величин

Применяя к величине У неравенство Чебышева и переходя к противоположному событию имеем

,

что и требовалось доказать.

7.4. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона

Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов n частота события А сходится по вероятности к его вероятности p

,

где сколь угодно малые положительные числа.

Большое значение этой теоремы в том, что по статистической вероятности можно с большой долей вероятности оценивать классическую вероятность.

Теорема Пуассона утверждает, что если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i- м опыте равна , то при увеличении n частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей

.

8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин.

Если , … независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону распределения.

При определенных условиях эта теорема справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых.

Например, в качестве таких условий можно привести условия А.М.Ляпунова:

,

где третий абсолютный центральный момент величины :

.

Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости центральной предельной теоремы является условие Линдеберга:

при любом

где математическое ожидание, плотность распределения случайной величины .