Характеристики случайных функций

Математическим ожиданием случайной функции Х(t) называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

Дисперсией случайной функции Х(t) называется неслучайная функция , значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции.

Корреляционной функцией случайной функции Х(t) называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции.

Корреляционная функция имеет большое значение для теории случайных функций, так как дает информацию о наличии линейной связи между значениями случайной функции. Перечислим основные свойства корреляционной функции.

1. При корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции

2. От прибавления не случайного слагаемого к случайной функции ее корреляционная функция не меняется , где

3. При умножении случайной функции на неслучайную функцию ее корреляционная функция умножается на

,

где

4. Корреляционная функция центрированной случайной функции совпадает с корреляционной функцией случайной функции .

Нормированной корреляционной функцией называется функция, определяемая по следующей формуле:

,

которая представляет собой коэффициент корреляции величин для Х(t) и Х(t’).

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций Х(t) и У(t) называется функция .

Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, что .

Случайные функции называются некоррелированными, если .

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций Х(t) и У(t) называется функция

.

Если рассматривается сумма двух случайных функций , то

.

В случае, если случайные функции Х(t) и У(t) не коррелированы, то

.