Методические указания по выполнению заданий на практических занятиях

Целью каждого практического занятия является освоение приемов решения конкретных задач для каждого раздела теории вероятностей.

Задачи берутся из сборников задач по теории вероятностей и математической статистики, таких авторов, как А.А.Свешников, Е.С.Вентцель и др., рекомендованных Министерством образования.

При решении задач требуется записать номер решаемой задачи и делать письменную запись текста задачи. Далее фиксируется подробный ход решения задачи с указанием используемых теорем и применяемых законов распределения вероятностей, а также применяемых правил из высшей математики. Ответ сравнивается с ответом,
приводимым в сборниках задач.

1.Непосредственный подсчет вероятностей.

В партии из изделий бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки изделий ровно окажутся бракованными.

Решение. Число возможных способов взять изделий из равно . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа бракованных изделий взято (это можно сделать способами), а остальные - изделий не бракованные (это можно сделать способами. Поэтому число благоприятствующих случаев равно . Искомая вероятность равна

.

2. Геометрические вероятности.

В любые моменты промежутка времени равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник будет забит.

Решение. Пусть и - моменты поступления сигналов в приемник.

Областью возможных значений , является квадрат площадью . Приемник будет забит, если . Данная область лежит между прямыми и . Ее площадь равна , поэтому искомая вероятность равна

.

3. Теорема умножения вероятностей.

Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% не бракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие не бракованное, а событие В – выбранное изделие первосортное. Тогда вероятность Р(А) = 1-0,04 = 0,96, а условная вероятность Р(В/А) = 0,75. Искомая вероятность равна вероятности произведения двух событий АВ: =Р(АВ) = 0,96×0,75 = 0,72.

4. Теорема сложения вероятностей.

Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того, чтобы поразить самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна , второго двигателя , кабины пилота . Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

Решение. Событие А – поражение самолета есть сумма двух совместных событий: Д – поражение обоих двигателей и К – поражение кабины. Следовательно, Р(А) = Р(Д)+Р(К)-Р(ДК) = + - .

5. Формула полной вероятности.

Прибор может работать в двух режимах: нормальном и не нормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, а не нормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя в нормальном режиме равна 0,1, а в не нормальном – 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя.

Решение. В соответствии с формулой полной вероятности искомая вероятность равна = 0,8×0,1+0,2×0,7=0,22.

6. Формула Байеса.

В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 отличника, 4 хорошиста, 2 троечника и 1 двоечник. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отличник может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный может ответить на 16 вопросов, троечник – на10, двоечник – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент отличник.

Решение. Выдвигаем четыре гипотезы: студент отличник; студент хорошист; студент троечник; студент двоечник. До опыта: ; ; ; . Событие А – это то, что вызванный студент ответил на три вопроса. Условная вероятность этого события равна

; ; ; . После опыта, применяя формулу Байеса, имеем:

.

Для сравнения вычислим вероятность, что отвечавший студент был двоечник:

.