Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ёмпирическое распределение. “очечные оценки параметров распределени€ генеральной совокупности




 

¬о многих случа€х мы располагаем информацией о виде закона распределени€ случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределени€, таких как M[x], D[x]. ƒл€ определени€ этих параметров примен€етс€ выборочный метод.

ѕусть выборка объема n представлена в виде вариационного р€да. Ќазовем выборочной средней величину

¬еличина называетс€ относительной частотой значени€ признака xi.

≈сли значени€ признака, полученные из выборки, не группировать и не представл€ть в виде вариационного р€да, то дл€ вычислени€ выборочной средней нужно пользоватьс€ формулой

.

≈стественно считать величину выборочной оценкой параметра M x.

¬ыборочна€ оценка параметра, представл€юща€ собой число, называетс€ точечной оценкой.

¬ыборочную дисперсию можно считать точечной оценкой дисперсии D [x] генеральной совокупности.

»спользу€ выборочный метод можно сделать некоторые выводы о наличии или глубине коррел€ционной св€зи случайных величин x иh, даже не зна€ закона совместного их распределени€. ¬ыборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где i -й отобранный объект (i = 1, 2,..., n)представлен парой чисел xi, yi:

 

x 1 x 2 ... xn
y 1 y 2 ... yn
         

¬ыборочный коэффициент коррел€ции рассчитываетс€ по формуле

«десь

,

¬ыборочный коэффициент коррел€ции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента коррел€ции rxh, характеризующего генеральную совокупность.

¬ыборочные параметры или любые другие завис€т от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаютс€ от выборки к выборке. ѕоэтому они сами €вл€ютс€ случайными величинами.

ѕусть выборочный параметр dрассматриваетс€ как выборочна€ оценка параметра D генеральной совокупности и при этом выполн€етс€ равенство

M [d] = D ..

“ака€ выборочна€ оценка называетс€ несмещенной.

ƒл€ доказательства несмещЄнности некоторых точечных оценок будем рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных величин x1,x2,... x n, кажда€ из которых имеет тот же закон распределени€ с теми же параметрами, что и случайна€ величина x, представл€юща€ генеральную совокупность. ѕри таком подходе станов€тс€ очевидными равенства:

M [ xi ] = M [x i ] = M [x]; D [ xi ] = D [x i ] = D [x]

дл€ всех i = 1, 2,..., n.

“еперь можно показать, что выборочна€ средн€€ есть несмещенна€ оценка средней генеральной совокупности или, что то же самое, математического ожидани€ интересующей нас случайной величины x:

¬ыведем формулу дл€ дисперсии выборочной средней:

Ќайдем теперь, чему равно математическое ожидание вы≠борочной дисперсии s 2. —начала преобразуем s 2 следующим образом:

«десь использовано преобразование:

“еперь, использу€ полученное выше выражение дл€ величины s 2, найдем ее математическое ожидание.

“ак как M [s2] ¹ D [x], то выборочна€дисперси€не €вл€етс€ несмещенной оценкойдисперсии генеральной совокупности.

„тобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на . “огда получитс€ величина

или

называема€ исправленной выборочной дисперсией.

ѕусть имеетс€ р€д несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. “а оценка, котора€ имеет наименьшую дисперсию, называетс€ эффективной.

ѕолученна€ из выборки объема n точечна€ оценка d n параметра D генеральной совокупности называетс€ состо€тельной, если она сходитс€ по веро€тности к D. Ёто означает, что дл€ любых положительных чисел e и g найдетс€ такое число n eg, что дл€ всех чисел n, удовлетвор€ющих неравенству n > n eg выполн€етс€ условие

и €вл€ютс€ несмещЄнными, состо€тельными и эффективными оценками величин D [x] и M [x].

ѕример 28. ѕриведенна€ ниже таблица представл€ет собой случайную выборку значений признака X. ќбъем выборки n =100.

50,2 54,0 41,0 42,0 58,2 59,3 84,8 45,0 76,5 58,3
21,0 55,0 45,0 21,5 46,0 44,0 42,5 49,0 48,7 75,0
15,3 55,0 23,8 46,5 53,0 62,8 78,5 67,0 34,5 49,9
49,7 63,0 30,0 32,0 42,4 22,4 52,0 70,4 57,2 50,0
23,0 47,8 47,4 50,8 78,3 27,0 56,6 51,3 58,6 28,4
51,7 50,0 48,8 49,4 57,5 47,4 33,5 27,0 39,7 57,5
18,4 35,6 28,4 37,6 49,5 26,7 54,0 68,6 29,3 62,7
43,8 44,0 69,1 46,3 76,7 37,1 69,2 39,3 30,0 43,0
85,0 63,0 30,0 43,8 64,8 22,0 38,8 42,3 64,8 41,0
30,0 10,0 63,0 48,8 71,2 54,4 47,8 31,2 46,1 17,8

Ќайти закон распределени€, точечные оценки математического ожидани€, дисперсии и среднеквадратического отклонени€ признака X.

–ешение. «начени€ в таблице почти не повтор€ютс€, поэтому построим интервальное распределение . ќпределим длину каждого частичного интервала (In), предварительно найд€ по таблице размах выборочных значений (R):

,

,

где n =100 Ц объем выборки.

Ќижн€€ граница первого интервала принимаетс€ равной а его верхнюю границу второй интервал будет (15; 25), третий (25; 35) и так далее. ≈сли повтор€ющеес€ выборочное значение совпадает с границей двух соседних интервалов, то договоримс€ относить его к левому интервалу. “ак число 55 дважды будет отнесено к интервалу (45; 55) и ни разу Ц к интервалу (55; 65).

¬ итоге этих действий получаем следующее интервальное распределение исходной выборки, куда внесены не только частоты , но и относительные частоты выборочных значений признака, попавшего в i -й частичный интервал:

 

xi Ц1Ц xi 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 75-85
ni                
0,01 0,09 0,14 0,19 0,29 0,15 0,07 0,06

 

ƒл€ проверки правильного заполнени€ таблицы нужно убедитьс€, что сумма элементов второй строки равна объему выборки (в нашем примере n =100), а сумма элементов третьей строки равна единице.

–аспределение непрерывной случайной величины характеризуетс€ функцией плотности веро€тностей. ¬ статистике ее оценкой €вл€етс€ гистограмма относительных частот. Ёто ступенчата€ фигура, дл€ построени€ которой по горизонтальной оси откладываютс€ частичные интервалы, по вертикальной Ц плотности относительных частот ¬ нашем примере

 

0,001 0,009 0,014 0,019 0,029 0,015 0,007 0,006

 

ќт интервального распределени€ выборки можно перейти к точечному (дискретному) распределению, вз€в за новые выборочные значени€ признака середины частичных интервалов. ¬ рассматриваемом примере такое распределение будет иметь вид следующей таблицы:

 

xi                
ni                
0,01 0,09 0,14 0,19 0,29 0,15 0,07 0,06

ƒл€ нагл€дности можно построить полигон относительных частот. Ёто ломана€ лини€, вершины которой наход€тс€ в точках (xi, ).

ƒл€ точечного распределени€ выборки можно построить эмпирическую функцию распределени€ F* (x). ќна €вл€етс€ статистической оценкой функции распределени€ веро€тностей признака (интегрального закона распределени€) и строитс€ по формуле , где n Ц объем выборки, а nх Ц сумма частот выборочных значений признака , меньших х. ясно, что эмпирическую функцию распределени€ характеризует процесс накоплени€ относительных частот. ¬ нашем примере

јналогом эмпирической функции распределени€ €вл€етс€ кумул€та относительных частот, представл€ющую собой дл€ точечного (дискретного)выборочного распределени€ ломаную линию с вершинами в точках , где n Ц объем выборки, а nх Ц сумма частот выборочных значений признака , меньших хi.

“очечные статистические оценкигенеральных параметров распределени€ признака вычислим по формулам

где xi Ц выборочное значение признака , ni Ц частоты этих значений, n Ц объем выборки.

ѕолучим

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2254 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

1972 - | 1743 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.023 с.