Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕредмет математической статистики. √енеральна€ и выборочные совокупности




ћатематическа€ статистика Ц наука, решающа€ в некотором смысле обратные задачи по сравнению с задачами теории веро€тности. ¬ теории веро€тностей веро€тностное пространство задано и требуетс€ предсказать возможное поведение случайной величины; в математической статистике, наоборот, известны лишь реализовавшиес€ значени€ случайной величины, по которым реконструируетс€ веро€тностное пространство. √овор€т, что по экспериментальным данным строитс€ веро€тностна€ модель €влени€, соответствующа€ этим данным.

¬ решении своих задач математическа€ статистика использует результаты теории веро€тностей.

»так, основной задачей математической статистики €вл€етс€ разработка методов получени€ научно обоснованных выводов о массовых €влени€х и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Ёти выводы и заключени€ относ€тс€ не к отдельным испытани€м, а представл€ют собой утверждени€ об общих веро€тностных характеристиках данного процесса.

ѕусть мы располагаем сведени€ми (обычно довольно ограниченными), например, о числе дефектных изделий и т.п. Ёти данные могут представл€ть непосредственный интерес в смысле информации о качестве партии продукции.

—татистические же проблемы возникают тогда, когда мы на основе той же информации начинаем делать выводы относительно более широкого круга €влений. Ќапример, нас может интересовать качество технологического процесса, дл€ этого мы оцениваем веро€тность получени€ в нем дефектного издели€ или среднюю долговечность издели€. ¬ этом случае мы рассматриваем собранный материал не ради его самого, а лишь как некую пробную группу или выборку.

¬ыводы и оценки, основанные на материале наблюдений, отражают случайный состав пробной группы и поэтому считаютс€ приблизительными оценками веро€тностного характера. ¬о многих случа€х теори€ указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюс€ информацию дл€ получени€ по возможности более точных и надежных характеристик, указыва€ при этом степень надежности выводов.

¬ математической статистике рассматриваютс€ две основные категории задач: оценивание и статистическа€ проверка гипотез.

ѕерва€ задача раздел€етс€ на точечное оценивание и интервальное оценивание параметров распределени€. Ќапример, может возникнуть необходимость по наблюдени€м получить точечные оценки параметров M x и D x. ≈сли мы хотим получить некоторый интервал, с той или иной степенью достоверности содержащий истинное значение параметра, то это задача интервального оценивани€.

¬тора€ задача Ц проверка гипотез Ц заключаетс€ в том, что мы делаем предположение о распределении веро€тностей случайной величины (например, о значении одного или нескольких параметров функции распределени€) и решаем, согласуютс€ ли в некотором смысле эти значени€ параметров с полученными результатами наблюдений.

¬ыборочный метод

ѕусть нам нужно обследовать количественный признак в партии экземпл€ров некоторого товара. ѕроверку партии можно проводить двум€ способами:

1) провести сплошной контроль всей партии;

2) провести контроль только части партии.

ѕри втором способе множество случайным образом отобранных объектов называетс€ выборочной совокупностью или выборкой.

¬семножество объектов, из которого производитс€ выборка, называетс€ генеральной совокупностью.

„исло объектов в выборке называетс€ объемом выборки. ќбычно будем считать, что объем генеральной совокупности бесконечен.

¬ыборки раздел€ютс€ на повторные (с возвращением) и бесповторные (без возвращени€).

¬ыборка должна достаточно полно отражать особенности всех объектов генеральной совокупности, иначе говор€, выборка должна быть репрезентативной (представительной).

¬ыборки различаютс€ по способу отбора.

1. ѕростой случайный отбор.

¬се элементы генеральной совокупности нумеруютс€ и из таблицы случайных чисел берут, например, последовательность любых 30 идущих подр€д чисел. Ёлементы с выпавшими номерами и вход€т в выборку.

2. “ипический отбор.

“акой отбор производитс€ в том случае, если генеральную совокупность можно представить в виде объединени€ подмножеств, объекты которых однородны по какому-то признаку, хот€ вс€ совокупность такой однородности не имеет “огда по каждому подмножеству провод€т простой случайный отбор, и в выборку объедин€ютс€ все полученные объекты.

3. ћеханический отбор.

ќтбирают каждый двадцатый (сотый) экземпл€р.

4. —ерийный отбор.

¬ выборку подбираютс€ экземпл€ры, произведенные на какомЦто производстве в определенный промежуток времени.

¬ дальнейшем под генеральной совокупностью мы будем подразумевать не само множество объектов, а множество значений случайной величины, принимающей числовое значение на каждом из объектов.

»так, отвлека€сь от пон€ти€ генеральной совокупности как множества объектов, обладающих некоторым признаком, будем рассматривать генеральную совокупность как случайную величину x, закон распределени€ и параметры которой определ€ютс€ с помощью выборочного метода.

–ассмотрим выборку объема n, представл€ющую данную генеральную совокупность. ѕервое выборочное значение x 1 будем рассматривать как реализацию, как одно из возможных значений случайной величины x1, имеющей тот же закон распределени€ с теми же параметрами, что и случайна€ величина x.

¬торое выборочное значение x 2 Ц одно из возможных значений случайной величины x2 с тем же законом распределени€, что и случайна€ величина x.

“о же самое можно сказать о значени€х x 3, x 4,..., xn.

“аким образом, на выборку будем смотреть как на совокупность независимых случайных величин x1, x2,..., xn, распределенных так же, как и случайна€ величина x, представл€юща€ генеральную совокупность. ¬ыборочные значени€ x 1, x 2,..., xn Ц это значени€, которые прин€ли эти случайные величины в результате 1-го, 2-го,..., n -го эксперимента.

¬ариационный р€д

ѕусть дл€ объектов генеральной совокупности определен некоторый признак или числова€ характеристика, которую можно замерить (размер детали, удельное количество нитратов в дыне, шум работы двигател€). Ёта характеристика Ц случайна€ величина x, принимающа€ на каждом объекте определенное числовое значение. »з выборки объема n получаем значени€ этой случайной величины в виде р€да из n чисел:

x 1, x 2,..., xn. (6)

Ёти числа называютс€ значени€ми признака.

—реди чисел р€да (6) могут быть одинаковые числа. ≈сли значени€ признака упор€дочить, то есть расположить в пор€дке возрастани€ или убывани€, написав каждое значение лишь один раз, а затем под каждым значением xi признака написать число mi, показывающее, сколько раз данное значение встречаетс€ в р€ду (6):

 

х 1 х 2 х 3 .... хk
m 1 m 2 m 3 .... mk

 

то получитс€ таблица, называема€ дискретным вариационным р€дом.

„исло mi называетс€ частотой i -гозначени€ признака.

ќчевидна справедливость равенства .

≈сли промежуток между наименьшим и наибольшим значени€ми признака в выборке разбить на несколько интервалов одинаковой длины, каждому интервалу поставить в соответствие число выборочных значений признака, попавших в этот интервал, то получим интервальный вариационный р€д.

≈сли признак может принимать любые значени€ из некоторого промежутка, то есть €вл€етс€ непрерывной случайной величиной, приходитс€ выборку представл€ть именно таким р€дом.

≈сли в вариационном интервальном р€ду каждый интервал [a i;a i+ 1) заменить лежащим в его середине числом (a i +a i+ 1)/2, то получим дискретный вариационный р€д. “ака€ замена вполне естественна, так как, например, при измерении размера детали с точностью до одного миллиметра всем размерам из промежутка [49,5; 50,5), будет соответствовать одно число, равное 50.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2608 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

493 - | 492 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.