Определенный интеграл и его свойства

Определенный интеграл отличается от неопределенного тем, что это либо число, либо первообразная с определенной постоянной.

Определенный интеграл можно представить как предел некоторой суммы

.

Здесь весь отрезок разбит на n отрезков , причем (или ,или ). Тогда – площадь прямоугольника.

Интуитивно ясно, что при интегральная сумма стремится к площади криволинейной трапеции.

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при стремлении максимального частичного отрезка разбиения к нулю.

Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл находится по формуле:

.

Свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , если на .

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми .

Механический смысл определенного интеграла: на графике ускорения отображает скорость, а на графике скорости отображает путь, пройденный телом при равноускоренном движении от t = 0 до момента t, если в начальный момент скорость и путь равны нулю.

Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную параболами

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

Решая квадратное уравнение, определим его корни: и Тогда искомая площадь будет равна: