Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕон€тие о дифференциальных уравнени€х. «адача  оши




 

ƒифференциальные уравнени€ Ц это уравнени€, св€зывающие неизвестную функцию и ее производные.

¬ самом общем виде дифференциальное уравнение записываетс€ так

.

ѕор€док старшей производной, вход€щей в состав уравнени€, называетс€ пор€дком уравнени€.

ћногие физические (и не только) уравнени€ имеют вид дифференциальных уравнений. –ассмотрим несколько примеров.

1. ”равнение механического движени€: , где х = х (t) Ц неизвестна€ функци€, m и F Ц известные величины. ¬ зависимости от условий задачи получают различныедифференциальные уравнени€:

а) сила посто€нна. ”равнение движени€ примет вид

б) сила периодически измен€етс€ со временем, например по закону . ”равнение движени€

в) сила пропорциональна смещению (движение идеально упругой пружины): . ”равнение движени€:

г) сила, обратно пропорциональна€ квадрату рассто€ни€, (свободный полет). ”равнение движени€:

д) посто€нна€ сила т€жести и сила трени€ , пропорциональна€ скорости, действующие одновременно (падение с трением). ”равнение движени€:

.

¬се приведенные уравнени€ Ц дифференциальные уравнени€ второго пор€дка.

2. –адиоактивный распад. Ёкспериментальные данные показывают, что скорость изменени€ массы пропорциональна массе вещества в данный момент: .

3. Ёлектрическа€ цепь. ≈сли в цепи, состо€щей из последовательно соединенных резистора R и конденсатора C, произошло короткое замыкание, то напр€жение U на конденсаторе будет мен€тьс€ по закону .

4. Ќародонаселение. ѕредставим число жителей страны в момент времени t как функцию L = L (t). ƒопустим, что за единицу времени народонаселение увеличиваетс€ на определенный процент. “огда за период времени по€витс€ новых жителей . ƒл€ скорости роста L, таким образом, можно записать дифференциальное уравнение .

ѕо такому же закону (закон естественного роста) размножаютс€ и бактерии, и нейтроны в €дерных реакци€х.

«а триста лет существовани€ дифференциального и интегрального исчислений по€вились многие тыс€чи дифференциальных уравнений. ќднако замечательно то, что многие уравнени€ похожи друг на друга, например, последние три выше приведенные, т.е. совершенно разные процессы привели к одной и той же математической модели. ¬ них скорость изменени€ искомой функции пропорциональна значению этой функции .

ѕроцесс нахождени€ решений называетс€ интегрированием дифференциального уравнени€. ћетоды решени€ разнообразны и завис€т от вида этих уравнений.

ќбщим решением дифференциального уравнени€ называетс€ функци€ вида . ≈сли посто€нным придать конкретные числовые значени€, то полученна€ функци€ будет называтьс€ частным решением.

Ќахождение частного решени€, удовлетвор€ющего начальному условию при , называетс€ задачей  оши.

¬ том случае, когда уравнение не имеет элементарного решени€, используют численные методы.

–ешение уравнени€ (или ) хорошо известно: , где Ц произвольна€ посто€нна€. ѕри различных значени€х получаетс€ семейство кривых, которые все удовлетвор€ют заданному уравнению. ≈сли в дополнение к дифференциальному уравнению задать значение у дл€ некоторого значени€ x, то можно определить посто€нную . Ќапример, предположим, что решение должно проходить через точку х =0, у =1, то есть у (0)=1. Ћегко найти, что =1 и что из всего семейства кривых только одна удовлетвор€ет одновременно и уравнению и условию.

ѕример 8. Ќайти общее решение дифференциального уравнени€ с раздел€ющимис€ переменными

–ешение. ”читыва€, что , перепишем уравнение в виде –азделим переменные: ѕроинтегрируем обе части уравнени€:

ќбщее решение будет иметь вид:





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1576 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинайте делать все, что вы можете сделать Ц и даже то, о чем можете хот€ бы мечтать. ¬ смелости гений, сила и маги€. © »оганн ¬ольфганг √ете
==> читать все изречени€...

507 - | 494 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.