Понятие о дифференциальных уравнениях. Задача Коши

Дифференциальные уравнения – это уравнения, связывающие неизвестную функцию и ее производные.

В самом общем виде дифференциальное уравнение записывается так

.

Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Многие физические (и не только) уравнения имеют вид дифференциальных уравнений. Рассмотрим несколько примеров.

1. Уравнение механического движения: , где х = х (t) – неизвестная функция, m и F – известные величины. В зависимости от условий задачи получают различныедифференциальные уравнения:

а) сила постоянна. Уравнение движения примет вид

б) сила периодически изменяется со временем, например по закону . Уравнение движения

в) сила пропорциональна смещению (движение идеально упругой пружины): . Уравнение движения:

г) сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, (свободный полет). Уравнение движения:

д) постоянная сила тяжести и сила трения , пропорциональная скорости, действующие одновременно (падение с трением). Уравнение движения:

.

Все приведенные уравнения – дифференциальные уравнения второго порядка.

2. Радиоактивный распад. Экспериментальные данные показывают, что скорость изменения массы пропорциональна массе вещества в данный момент: .

3. Электрическая цепь. Если в цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора R и конденсатора C, произошло короткое замыкание, то напряжение U на конденсаторе будет меняться по закону .

4. Народонаселение. Представим число жителей страны в момент времени t как функцию L = L (t). Допустим, что за единицу времени народонаселение увеличивается на определенный процент. Тогда за период времени появится новых жителей . Для скорости роста L, таким образом, можно записать дифференциальное уравнение .

По такому же закону (закон естественного роста) размножаются и бактерии, и нейтроны в ядерных реакциях.

За триста лет существования дифференциального и интегрального исчислений появились многие тысячи дифференциальных уравнений. Однако замечательно то, что многие уравнения похожи друг на друга, например, последние три выше приведенные, т.е. совершенно разные процессы привели к одной и той же математической модели. В них скорость изменения искомой функции пропорциональна значению этой функции .

Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения. Методы решения разнообразны и зависят от вида этих уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида . Если постоянным придать конкретные числовые значения, то полученная функция будет называться частным решением.

Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальному условию при , называется задачей Коши.

В том случае, когда уравнение не имеет элементарного решения, используют численные методы.

Решение уравнения (или ) хорошо известно: , где С – произвольная постоянная. При различных значениях С получается семейство кривых, которые все удовлетворяют заданному уравнению. Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать значение у для некоторого значения x, то можно определить постоянную С. Например, предположим, что решение должно проходить через точку х =0, у =1, то есть у (0)=1. Легко найти, что С =1 и что из всего семейства кривых только одна удовлетворяет одновременно и уравнению и условию.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Решение. Учитывая, что , перепишем уравнение в виде Разделим переменные: Проинтегрируем обе части уравнения:

Общее решение будет иметь вид: