Арифметические свойства предела

 

Пусть существует и причем тогда при

 

Вопрос о существовании предела последовательности часто бывает сложным. Вычисление предела – это раскрытие неопределенности вида: и т.д. При этом используются так называемые замечательные пределы:

Непрерывность функции и ее пределы

Приращением функции называется изменение функции при заданном приращении аргумента:

.

Функция f (x) непрерывна в точке x ₀, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и приращение функции в этой точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента: , если .

График непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая пера от бумаги.

Точка, в которой при стремлении к нулю приращения аргумента приращение функции к нулю не стремится, называется точкой разрыва функции.

Будем считать, что функция f (x) определена во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x ₀ (т.е. в окрестности точки x ₀), кроме, быть может, самой точки x ₀.

Число A называется пределом функции y = f (x) при , если для произвольного (сколь угодно малого) положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех точек х из -окрестности точки x ₀, исключая, быть может, саму точку x ₀ (т.е. для всех, удовлетворяющих неравенству ), будет выполняться неравенство . Сказанное обозначают как .

Запишем определение предела с помощью кванторов:

Число А называют пределом функции f (x) на бесконечности (в бесконечно удаленной точке), если для найдется такое М >0, что при x > M выполняется неравенство и записывают: .

Для исследования поведения функции вблизи некоторых точек полезно знать, к чему стремится f (x), когда , оставаясь левее x ₀ (т.е. при x < x ₀), и когда , оставаясь правее x ₀ (x > x ₀). Такие пределы называются левым и правым пределом функции в точке x ₀ или односторонними пределами. Обозначения: и .

Предел функции в точке x ₀ существует, если предел справа равен пределу слева.

Функция y = f (x) с областью определения D называется непрерывной в точке x ₀, если выполняются следующие три условия:

1. Функция y = f (x) определена в точке x ₀, т.е. ;

2. Существует предел функции в точке x ₀;

3. Предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: .

Если в точке x ₀нарушено хотя бы одно из трех приведенных условий, то точка x ₀называется точкой разрыва функции y = f (x).

Функция f (x) имеет в точке x ₀ разрыв первого рода, если пределы слева и справа конечны, но не равны друг другу.

Функция f (x) имеет в точке x ₀ разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов слева или справа бесконечен или не существует.

Если функция не определена в точке x ₀или нарушено условие , то точка x ₀называется точкой устранимого разрыва функции y = f (x).

Пример 5. Найти предел функции .

Решение. Вычислим пределы числителя и знаменателя:

Получили неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

.

Разделим числитель и знаменатель дроби на (х –2). Это сокращение допустимо, так как при отыскании предела рассматриваются значения х ¹2 (это подчеркивается в определении предела). Тогда: