Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


јрифметические свойства предела




 

ѕусть существует и причем тогда при

 

¬опрос о существовании предела последовательности часто бывает сложным. ¬ычисление предела Ц это раскрытие неопределенности вида: и т.д. ѕри этом используютс€ так называемые замечательные пределы:

Ќепрерывность функции и ее пределы

ѕриращением функции называетс€ изменение функции при заданном приращении аргумента:

.

‘ункци€ f (x) непрерывна в точке x 0, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и приращение функции в этой точке стремитс€ к нулю при стремлении к нулю приращени€ аргумента: , если .

√рафик непрерывной функции можно нарисовать, не отрыва€ пера от бумаги.

“очка, в которой при стремлении к нулю приращени€ аргумента приращение функции к нулю не стремитс€, называетс€ точкой разрыва функции.

Ѕудем считать, что функци€ f (x) определена во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 (т.е. в окрестности точки x 0), кроме, быть может, самой точки x 0.

„исло A называетс€ пределом функции y = f (x) при , если дл€ произвольного (сколь угодно малого) положительного числа существует такое положительное число , завис€щее от , что дл€ всех точек х из -окрестности точки x 0, исключа€, быть может, саму точку x 0 (т.е. дл€ всех, удовлетвор€ющих неравенству ), будет выполн€тьс€ неравенство . —казанное обозначают как .

«апишем определение предела с помощью кванторов:

„исло ј называют пределом функции f (x) на бесконечности (в бесконечно удаленной точке), если дл€ найдетс€ такое ћ >0, что при x > M выполн€етс€ неравенство и записывают: .

ƒл€ исследовани€ поведени€ функции вблизи некоторых точек полезно знать, к чему стремитс€ f (x), когда , остава€сь левее x 0 (т.е. при x < x 0), и когда , остава€сь правее x 0 (x > x 0). “акие пределы называютс€ левым и правым пределом функции в точке x 0 или односторонними пределами. ќбозначени€: и .

ѕредел функции в точке x 0 существует, если предел справа равен пределу слева.

‘ункци€ y = f (x) с областью определени€ D называетс€ непрерывной в точке x 0, если выполн€ютс€ следующие три услови€:

1. ‘ункци€ y = f (x) определена в точке x 0, т.е. ;

2. —уществует предел функции в точке x 0;

3. ѕредел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: .

≈сли в точке x 0нарушено хот€ бы одно из трех приведенных условий, то точка x 0называетс€ точкой разрыва функции y = f (x).

‘ункци€ f (x) имеет в точке x 0 разрыв первого рода, если пределы слева и справа конечны, но не равны друг другу.

‘ункци€ f (x) имеет в точке x 0 разрыв второго рода, если хот€ бы один из пределов слева или справа бесконечен или не существует.

≈сли функци€ не определена в точке x 0или нарушено условие , то точка x 0называетс€ точкой устранимого разрыва функции y = f (x).

ѕример 5. Ќайти предел функции .

–ешение. ¬ычислим пределы числител€ и знаменател€:

ѕолучили неопределенность типа . ƒл€ раскрыти€ неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

.

–азделим числитель и знаменатель дроби на (х Ц2). Ёто сокращение допустимо, так как при отыскании предела рассматриваютс€ значени€ х ¹2 (это подчеркиваетс€ в определении предела). “огда:

 






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2030 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћогика может привести ¬ас от пункта ј к пункту Ѕ, а воображение Ч куда угодно © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

1983 - | 1943 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.