Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕроизводна€ и дифференциал функции. Ёкстремум функции




»сточником дифференциального исчислени€ были две проблемы:

1. ќ нахождении касательной к произвольной линии;

2. ќ нахождении скорости при произвольном законе движени€.

ќбе они привели к одной и той же вычислительной задаче. ќна состоит в том, чтобы по данной функции f (x) отыскать другую функцию f ¢(x), представл€ющую скорость изменени€ функции f (x) относительно изменени€ аргумента. ¬ таком общем виде задача была поставлена в XVII веке Ќьютоном и Ћейбницем. ќни ввели символику, развили аппарат дифференциального исчислени€ и применили его к решению многих задач геометрии и механики.

ѕроизводной функции y = f (x) в точке x 0называетс€ предел отношени€ приращени€ функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю.

»так, по определению

.

Ќар€ду с обозначением дл€ производной употребл€ютс€ и другие обозначени€, например: y ¢, y ¢ x .

ѕроизводна€ имеет следующие механический и геометрический смыслы.

Ц скорость пр€молинейного движени€ материальной точки в момент времени t 0 есть производна€ от пути по времени .

Ц угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x 0равен значению производной этой функции в точке x 0: .

«начит уравнение касательной к графику y = f (x) в точке имеет вид

.

Ќормалью в точке к линии называетс€ перпендикул€р к касательной в точке ћ 0. ≈е уравнение имеет вид

,

так как угловой коэффициент нормали св€зан с угловым коэффициентом касательной условием перпендикул€рности

.

ƒл€ одной и той же функции y = f (x) производную можно вычисл€ть в различных точках.

‘ункци€ y = f (x), имеюща€ конечную производную в точке x 0, называетс€ дифференцируемой в этой точке. ‘ункци€ y = f (x) называетс€ дифференцируемой в интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

—праведлива следующа€ теорема о св€зи между дифференцируемостью и непрерывностью.

“еорема: если функци€ y = f (x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке.

ќбратна€ теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не €вл€ютс€ дифференцируемыми, например функци€ .

ѕример 6. Ќайти производную функции .

–ешение.

ѕроизводные высших пор€дков

ѕустьфункци€ y = f (x) дифференцируема на интервале . “огда ее производна€ €вл€етс€ функцией от х. ѕусть эта производна€ также имеет производную. Ёта производна€ называетс€ второй производной или производной второго пор€дка функции f (x). ќна обозначаетс€ символом или .

¬ообще, производной n-го пор€дка функции y = f (x) называетс€ перва€ производна€ от производной (n Ц1) пор€дка

.

ћеханический смысл второй производной: ускорение пр€молинейного движени€ равно второй производной от пути по времени.

 

ѕравила Ћопитал€. ѕон€тие производной применимо дл€ раскрыти€ неопределенностей типа или .

ѕравило 1. ѕусть , (или ). “огда, если существует предел отношени€ производных (или ), то существует предел отношени€ функций, и эти пределы равны между собой, т.е.

(или ).

ѕравило 2. ѕусть (или ).

“огда, если существует предел отношени€ производных (или ), то существует предел отношени€ функций, и они равны между собой, т.е.

(или ).

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1834 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒаже страх см€гчаетс€ привычкой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

725 - | 588 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.