Пусть имеем функцию y = f (x), определенную на промежутке D и непрерывную в точке . Тогда приращению аргумента
отвечает приращение функции
,
бесконечно малое вместе с .
Большую важность имеет вопрос: существует ли для такая линейная однородная относительно
бесконечно малая
, что их разность оказывается, по сравнению с
, бесконечно малой высшего порядка малости
, (1)
где есть величина, стремящаяся к нулю при
быстрее, чем
.
При равенство (1) показывает, что бесконечно малая
(главная часть приращения
) эквивалентна бесконечно малой
. В этом случае выражение
называется дифференциалом функции и обозначается символом
или
.
Доказывается, что для того, что бы функция y = f (x) в точке имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в точке
(т.е. имела в этой точке конечную производную
). При этом
и формула (1) имеет вид
.
Итак, дифференциал всегда равен
.
Дифференциал аргумента . То есть приращение аргумента тождественно равно дифференциалу аргумента. Тогда производную функции можно выразить через дифференциалы функции и аргумента:
.
Геометрический смысл дифференциала: в то время как есть приращение ординаты кривой y = f (x), dy является приращением ординаты касательной.
В приложениях часто бывает более удобно работать с дифференциалом, чем с производной в точке. Кроме того, дифференциал – главная часть приращения функции и может быть вычислен сравнительно просто. Дифференциал является источником приближенных формул, так как при
. Подробнее:
,
откуда
.
Например, надо найти приближенно . Легко вычисляются значения
и
при
. Тогда
.