Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕредел и непрерывность функции




“опологи€ Ц раздел математики, который занимаетс€ изучением пределов и непрерывностью функций. ¬ соединении с алгеброй топологи€ составл€ет общую основу математики.

“опологическое пространство или фигура Ц подмножество нашего однородного евклидового пространства, между точками которого задано некоторое отношение близости. «десь рассматриваютс€ фигуры не как жесткие тела, а как объекты, сделанные как бы из очень эластичной резины, допускающие непрерывную деформацию, сохран€ющую их качественные свойства.

¬заимно-однозначное непрерывное отображение фигур называетс€ гомеоморфизмом. ƒругими словами, фигуры гомео≠морфны, если одну можно перевести в другую непрерывной деформацией.

ѕримеры. √омеоморфны следующие фигуры (из разных групп фигуры не гомеоморфны), изображенные на рис. 2.

–ис. 2.

1. ќтрезок и крива€ без самопересечений.

2.  руг, внутренность квадрата, лента.

3. —фера, поверхность куба и тетраэдра.

4. ќкружность, эллипс и заузленна€ окружность.

5.  ольцо на плоскости (круг с дыркой), кольцо в пространстве, два раза перекрученное кольцо, бокова€ поверхность цилиндра.

6. Ћист ћЄбиуса, т.е. один раз перекрученное кольцо, и три раза перекрученное кольцо.

7. ѕоверхность тора (бублика), сфера с ручкой и заузленный тор.

8. —фера с двум€ ручками и крендель с двум€ дырками.

¬ математическом анализе функции изучаютс€ методом пределов. ѕеременна€ и предел Ц основные пон€ти€.

¬ различных €влени€х некоторые величины сохран€ют свое численное значение, другие измен€ютс€. —овокупность всех числовых значений переменной величины называетс€ областью изменени€ этой переменной.

»з разнообразных способов поведени€ переменной величины наиболее важен такой, при котором переменна€ величина стремитс€ к некоторому пределу.

ѕосто€нное число a называетс€ пределом переменной величиныx, если абсолютна€ величина разности между x и a () становитс€ в процессе изменени€ переменной величины x сколь угодно малой:

„то значит Ђсколь угодно малойї? ѕеременна€ величина х стремитс€ к пределу а,если дл€ любого сколь угодно малого (произвольно малого) числа найдетс€ такой момент в изменении переменной х,начина€ с которого выполн€етс€ неравенство .

ќпределение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство означает, что х находитс€ в -окрестности точки a, т.е. в интервале .

“аким образом, определение предела можно дать в геометрической форме:

„исло а €вл€етс€ пределом переменной величины х, если дл€ любой сколь угодно малой (произвольно малой) -окрест≠ности числа а можно указать такой момент в изменении переменной х, начина€ с которого все ее значени€ попадают в указанную -окрестность точки а.

«амечание. ѕеременна€ величина х может по-разному приближатьс€ к своему пределу: остава€сь меньше этого предела (слева), больше (справа), колебл€сь около значени€ предела.

ѕредел последовательности

‘ункцией называетс€ закон (правило) по которому каждому элементу x некоторого множества X соответствует единственный элемент y множества Y.

‘ункци€ может быть задана на множестве всех натуральных чисел: . “ака€ функци€ называетс€ функцией натурального аргумента или числовой последовательностью.

“ак как последовательность, как и вс€кое бесконечное множество, нельз€ задать перечислением, то она задаетс€ общим членом: , где Ц общий член последовательности.

ƒискретной переменной называетс€ общий член последовательности .

ƒл€ последовательности слова Ђначина€ с некоторого моментаї означают слова Ђначина€ с некоторого номераї.

„исло а называетс€ пределом последовательности , если дл€ любого сколь угодно малого (произвольно малого) числа найдетс€ такой номер N, что дл€ всех членов последовательности с номером n > N выполн€етс€ неравенство .

или при .

√еометрически определение предела последовательности означает следующее: дл€ любой сколь угодно малой (произвольно малой) -окрестности числа а найдетс€ такой номер, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами, попадают в эту окрестность. ¬не окрестности оказываетс€ лишь конечное число начальных членов последовательности. Ќатуральное число N зависит от : .

«апишем определение предела с помощью логических значков Ц кванторов:

при .

ѕоследовательность называетс€ бесконечно малой, если .

ѕоследовательность называетс€ бесконечно большой ( при ), если дл€ любого числа E >0 существует номер N (E) такой, что при n > N выполн€етс€ неравенство . ≈сли при этом, начина€ с некоторого номера, все члены последовательности положительны, то используют запись .

Ќад последовательност€ми можно осуществл€ть обычные арифметические операции, и выполн€ют их почленно.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2298 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

2066 - | 1939 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.