Рассмотрим задачу (9.1.5)– (9.1.8) с измененными начальными условиями:
, (9.2.1)
, 
, 
, 
, (9.2.2)
, 
, , (9.2.3)
, 
, 
, (9.2.4)
где точка 
и целое число 
фиксированы. Через 
обозначим множество управлений 
, удовлетворяющих (9.2.4) и таких, что соответствующая траектория 
из (9.2.5) удовлетворяет фазовым ограничениям (9.2.3). Пару 
будем называть допустимой для задачи (9.2.1)–(9.2.4), если 
. Допустимую пару 
назовем решением задачи (9.2.1)–(9.2.4), если
а 
– оптимальным управлением, 
– оптимальной траекторией задачи (9.2.1)–(9.2.4).
При 
также и 
хотя бы для одного 
. Введем функцию
,
называемую функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8). Ее область определения – множество 
. Функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) удовлетворяет рекуррентным соотношениям, называемым уравнением Беллмана.
Теорема 1. Функция Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) необходимо является решением уравнения
, , (9.2.5)
где 
,
, , (9.2.6)
Верно и обратное: функция 
, . 
, определяемая условиями (9.2.5), (9.2.6), является функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8).
