Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒостаточные услови€ экстремума




ƒл€ функций многих переменных условие €вл€етс€ достаточным условием минимума (максимума). јналогичных условий дл€ второй вариации (т.е. или ) не хватает, чтобы получить достаточные услови€ экстремума дл€ вариационной задачи. ƒл€ этого привлекают дополнительные услови€, основанные на рассмотрении полей экстремалей. ћы будем рассматривать достаточные услови€ дл€ слабого и сильного экстремумов дл€ задачи Ћагранжа (7.2.1) нахождени€ экстремума функционала

, , .

Ѕудем говорить, что экстремаль можно расположить в поле экстремалей, если существует семейство экстремалей , где Ц параметр, такое, что

Ц оно покрывает определенную область плоскости так, что через каждую точку проходит ровно одна экстремаль семейства;

Ц дл€ данного получаем исходную экстремаль , причем она лежит не на границе области .

ѕоле экстремалей называетс€ центральным, если все кривые пол€ исход€т из точки (центр семейства экстремалей). Ќаклон проход€щих через точку экстремалей пол€ называетс€ градиентом пол€ в точке и обозначаетс€ ; как функци€ от называетс€ градиентной функцией.

ƒостаточным условием дл€ включени€ экстремали в поле экстремалей (с центром €вл€етс€ условие якоби .

ќпределим ≈ Ц функцию ¬ейерштрасса

,

где - градиентна€ функци€.

ƒостаточные услови€ экстремума:

а) ‘ункци€ доставл€ет функционалу слабый экстремум, если

1) €вл€етс€ экстремалью, то есть удовлетвор€ет уравнению Ё - Ћ и граничным услови€м , ;

2) может быть включена в поле экстремалей;

3) знак функции не измен€етс€ во всех точках , которые лежат достаточно близко от экстремали , и дл€ всех значений , лежащих вблизи градиентной функции на экстремали. ‘ункци€ доставл€ет функционалу минимум при и максимум при .

б) ‘ункци€ доставл€ет функционалу сильный (локальный) экстремум, если

1) выполнены пп. 1) и 2) условий а);

2) функци€ не измен€ет свой знак дл€ всех точек , лежащих в достаточной близости от , и дл€ любых значений . ‘ункци€ у доставл€ет функционалу минимум при и максимум при .

ѕример 7. Ќайти экстремум функционала

.

— учетом специального вида функции , имеем , и тем самым , т.е. экстремали €вл€ютс€ пр€мыми вида . ќтсюда, с учетом граничных условий найдем экстремаль .

”словие Ћежандра выполнено в строгой форме:

.

–ешение дифференциального уравнени€ якоби (5.13)

имеет вид . ќтсюда дл€ сопр€женной точки имеем . —ледовательно, экстремаль удовлетвор€ет услови€м Ћагранжа и якоби и может быть включена в поле экстремалей . ‘ункци€ имеет вид:

ѕервый сомножитель - функции всегда неотрицателен, а второй положителен дл€ значений , которые расположены около 1, то есть реализует слабый (локальный) минимум функционала. ”словие сильного экстремума не выполнено, так как при - функци€ отрицательна.

ѕример 8. Ќайти экстремум функционала

.

Ёкстремали этой задачи имеют вид

.

ѕрименение граничных условий дает . ”слови€ Ћежандра и якоби выполнены. Ёкстремаль может быть включена в поле .

»з соотношени€ видно, что дл€ всех . ѕоэтому экстремаль реализует сильный (локальный) минимум.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 770 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—амообман может довести до саморазрушени€. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1623 - | 1476 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.