Лекции.Орг
 

Категории:


Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки): Структурная и функциональная единица нервной ткани и он состоит из тела...


Деформации и разрушения дорожных одежд и покрытий: Деформации и разрушения могут быть только покрытий и всей до­рожной одежды в целом. К первым относит...


Перевал Алакель Северный 1А 3700: Огибая скальный прижим у озера, тропа поднимается сначала по травянистому склону, затем...

Достаточные условия экстремума



Для функций многих переменных условие является достаточным условием минимума (максимума). Аналогичных условий для второй вариации (т.е. или ) не хватает, чтобы получить достаточные условия экстремума для вариационной задачи. Для этого привлекают дополнительные условия, основанные на рассмотрении полей экстремалей. Мы будем рассматривать достаточные условия для слабого и сильного экстремумов для задачи Лагранжа (7.2.1) нахождения экстремума функционала

, , .

Будем говорить, что экстремаль можно расположить в поле экстремалей, если существует семейство экстремалей , где – параметр, такое, что

– оно покрывает определенную область плоскости так, что через каждую точку проходит ровно одна экстремаль семейства;

– для данного получаем исходную экстремаль , причем она лежит не на границе области .

Поле экстремалей называется центральным, если все кривые поля исходят из точки (центр семейства экстремалей). Наклон проходящих через точку экстремалей поля называется градиентом поля в точке и обозначается ; как функция от называется градиентной функцией.

Достаточным условием для включения экстремали в поле экстремалей (с центром является условие Якоби .

Определим Е – функцию Вейерштрасса

,

где - градиентная функция.

Достаточные условия экстремума:

а) Функция доставляет функционалу слабый экстремум, если

1) является экстремалью, то есть удовлетворяет уравнению Э - Л и граничным условиям , ;

2) может быть включена в поле экстремалей;

3) знак функции не изменяется во всех точках , которые лежат достаточно близко от экстремали , и для всех значений , лежащих вблизи градиентной функции на экстремали. Функция доставляет функционалу минимум при и максимум при .

б) Функция доставляет функционалу сильный (локальный) экстремум, если

1) выполнены пп. 1) и 2) условий а);

2) функция не изменяет свой знак для всех точек , лежащих в достаточной близости от , и для любых значений . Функция у доставляет функционалу минимум при и максимум при .

Пример 7. Найти экстремум функционала

.

С учетом специального вида функции , имеем , и тем самым , т.е. экстремали являются прямыми вида . Отсюда, с учетом граничных условий найдем экстремаль .

Условие Лежандра выполнено в строгой форме:

.

Решение дифференциального уравнения Якоби (5.13)

имеет вид . Отсюда для сопряженной точки имеем . Следовательно, экстремаль удовлетворяет условиям Лагранжа и Якоби и может быть включена в поле экстремалей . Функция имеет вид:

Первый сомножитель - функции всегда неотрицателен, а второй положителен для значений , которые расположены около 1 , то есть реализует слабый (локальный) минимум функционала. Условие сильного экстремума не выполнено, так как при - функция отрицательна.

Пример 8. Найти экстремум функционала

.

Экстремали этой задачи имеют вид

.

Применение граничных условий дает . Условия Лежандра и Якоби выполнены. Экстремаль может быть включена в поле .

Из соотношения видно, что для всех . Поэтому экстремаль реализует сильный (локальный) минимум.





Дата добавления: 2015-02-12; просмотров: 397 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. III. Условия труда
  2. IV. Воинская обязанность граждан в условиях мобилизации
  3. IV. Общее питание, телосложение, наследственность, болезненность, спе­циальные предписания по условиям здоровья
  4. IV. Требования к условиям реализации основной образовательной программы начального общего образования
  5. lt;1> Серия - определенное количество однородного готового продукта (лекарственного средства), изготовленного за один производственный цикл при постоянных условиях
  6. Vocabulary. essential clauses- существенные условия контракта
  7. А) ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ ВЕРНОЙ ПЕРЕДАЧИ СЛОВ, ОБОЗНАЧАЮЩИХ НАЦИОНАЛЬНО-СПЕЦИФИЧЕСКИЕ РЕАЛИИ
  8. А. При одинаковой амплитуде колебаний. Б. При одинаковых начальных фазах колебаний. В. При выполнении условий А и Б. Г. Ни при каких условиях. Д. Наблюдается всегда
  9. Адаптация международной рекламы к местным национальным условиям
  10. Административно-правовое регулирование отношений в условиях чрезвычайного положения
  11. Административное принуждение в условиях чрезвычайного положения
  12. АКТ (ПАСПОРТ) общего осеннего осмотра здания (сооружения) (о готовности к эксплуатации в зимних условиях)


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.