Достаточные условия экстремума

Для функций многих переменных условие является достаточным условием минимума (максимума). Аналогичных условий для второй вариации (т.е. или ) не хватает, чтобы получить достаточные условия экстремума для вариационной задачи. Для этого привлекают дополнительные условия, основанные на рассмотрении полей экстремалей. Мы будем рассматривать достаточные условия для слабого и сильного экстремумов для задачи Лагранжа (7.2.1) нахождения экстремума функционала

, , .

Будем говорить, что экстремаль можно расположить в поле экстремалей, если существует семейство экстремалей , где – параметр, такое, что

– оно покрывает определенную область плоскости так, что через каждую точку проходит ровно одна экстремаль семейства;

– для данного получаем исходную экстремаль , причем она лежит не на границе области .

Поле экстремалей называется центральным, если все кривые поля исходят из точки (центр семейства экстремалей). Наклон проходящих через точку экстремалей поля называется градиентом поля в точке и обозначается ; как функция от называется градиентной функцией.

Достаточным условием для включения экстремали в поле экстремалей (с центром является условие Якоби .

Определим Е – функцию Вейерштрасса

,

где - градиентная функция.

Достаточные условия экстремума:

а) Функция доставляет функционалу слабый экстремум, если

1) является экстремалью, то есть удовлетворяет уравнению Э - Л и граничным условиям , ;

2) может быть включена в поле экстремалей;

3) знак функции не изменяется во всех точках , которые лежат достаточно близко от экстремали , и для всех значений , лежащих вблизи градиентной функции на экстремали. Функция доставляет функционалу минимум при и максимум при .

б) Функция доставляет функционалу сильный (локальный) экстремум, если

1) выполнены пп. 1) и 2) условий а);

2) функция не изменяет свой знак для всех точек , лежащих в достаточной близости от , и для любых значений . Функция у доставляет функционалу минимум при и максимум при .

Пример 7. Найти экстремум функционала

.

С учетом специального вида функции , имеем , и тем самым , т.е. экстремали являются прямыми вида . Отсюда, с учетом граничных условий найдем экстремаль .

Условие Лежандра выполнено в строгой форме:

.

Решение дифференциального уравнения Якоби (5.13)

имеет вид . Отсюда для сопряженной точки имеем . Следовательно, экстремаль удовлетворяет условиям Лагранжа и Якоби и может быть включена в поле экстремалей . Функция имеет вид:

Первый сомножитель - функции всегда неотрицателен, а второй положителен для значений , которые расположены около 1, то есть реализует слабый (локальный) минимум функционала. Условие сильного экстремума не выполнено, так как при - функция отрицательна.

Пример 8. Найти экстремум функционала

.

Экстремали этой задачи имеют вид

.

Применение граничных условий дает . Условия Лежандра и Якоби выполнены. Экстремаль может быть включена в поле .

Из соотношения видно, что для всех . Поэтому экстремаль реализует сильный (локальный) минимум.