Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ќеобходимые услови€ экстремума




«адачей Ћагранжа в ¬» называют задачу нахождени€ экстремума функционала (7.1.1) при услови€х (7.1.2)

, , . (7.2.1)

≈сли нет специальных оговорок, то будем считать, что имеет непрерывную производную .

Ќеобходимые услови€ экстремума. ”равнение ЁйлераЦЋагранжа (Ё-Ћ). ≈сли функци€ доставл€ет функционалу слабый (локальный) экстремум, то она должна €вл€тьс€ решением дифференциального уравнени€ Ёйлера-Ћагранжа:

, (7.2.2)

или в другой форме

. (7.2.2)

«десь предполагаетс€ дважды непрерывно дифференцируемой. “ак как сильный (локальный) экстремум есть одновременно и слабый (локальный) экстремум, то дифференциальное уравнение (7.2.2) представл€ет собой так же и необходимое условие дл€ сильного (локального) экстремума.

”равнение Ёйлера-Ћагранжа есть дифференциальное уравнение второго пор€дка. –ешени€ этого уравнени€ называют экстремальными. ѕо€вл€ющиес€ две посто€нные интегрировани€ определ€ютс€ при помощи граничных условий (7.1.2).

 раткое описание доказательства. ѕусть экстремум функционала (7.2.1). ƒл€ кривых сравнени€ вида

, (7.2.3)

где Ц малый параметр, имеем

.

“аким образом, функционал есть функци€ только параметра . ¬ силу предположени€ о том, что есть решение, должно выполн€тс€ соотношение

. (7.2.4)

¬ычислим производную

»з и произвольности функции вытекает уравнение Ёйлера Ц Ћагранжа (7.2.2). ¬ приведенном кратком обосновании используетс€ факт существовани€ решени€.

ѕример 3. Ќайти экстремум функционала

.

”равнение Ёйлера-Ћагранжа имеет вид

.

ќтсюда следует . »спользу€ граничные услови€, получаем: .

—ледует учитывать, что экстремали не всегда реализуют минимум или максимум, так как уравнение Ё-Ћ представл€ет собой только необходимое условие экстремума. ѕриведем дополнительные необходимые услови€ экстремума, которые в определенных случа€х позвол€ют исключить те экстремали, которые не дают экстремума функционалу.

—пециальные случаи задачи (7.2.1).

а) ≈сли , т.е. , то уравнение Ё-Ћ имеет вид , так что есть первый интеграл этого уравнени€.

ѕример 4. Ќайти экстремум функционала

.

»з услови€ получаем, что , и, следовательно, . ѕримен€€ граничные услови€, получим .

б) ≈сли , т.е. и . »з уравнени€ Ё-Ћ (7.2.2) следует, что

,

и, таким образом, . —ледовательно, есть первый интеграл.

в) ≈сли , то уравнение Ё-Ћ упрощаетс€ и имеет вид .

г) ≈сли , то , и тем самым , т.е. экстремали €вл€ютс€ пр€мыми вида .

“ак как уравнение ЁйлераЦЋагранжа представл€ет собой только необходимое условие экстремума, то экстремали не всегда реализуют минимум или максимум функционала. ѕриводимые далее необходимые услови€ экстремума позвол€ют в определенных случа€х исключить те экстремали, которые не дают экстремума функционалу.

”словие Ћежандра. »спользу€ вторую вариацию , получаем необходимое условие экстремума Ћежандра: чтобы функци€ доставл€ла слабый (локальный) минимум (максимум) функционалу , необходимо, чтобы дл€ имело место неравенство

. (7.2.5)

ѕример 5. Ќайти минимум функционала

.

“ак как подынтегральна€ функци€ зависит только от , то экстремал€ми €вл€ютс€ пр€мые. — учетом граничных условий получаем . ”словие Ћежандра имеет вид . ƒл€ экстремали это неравенство не выполн€етс€, поэтому слабого локального минимума не существует.

”словие якоби. ѕусть дл€ функции , , выполнено строгое условие Ћежандра, то есть . ≈сли при этом функционал имеет при слабый минимум, то дл€ точки , сопр€женной с , должно выполн€тс€ неравенство . —опр€женна€ точка определ€етс€ следующим образом. ѕусть есть решение дифференциального уравнени€ якоби

. (7.2.6)

«а принимаем наименьший из корней функции , лежащих справа от x0. ≈сли справа от нет корней то полагаем .

ѕример 6. Ќайти минимум функционала

.

”равнение Ёйлера ЦЋагранжа имеет решение . ”словие Ћежандра выполнено в строгой форме

.

”равнение якоби (7.2.6) имеет вид

.

≈го решение . ѕоэтому дл€ сопр€женной точки получаем значение , то есть условие якоби выполнено в случае, если .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1285 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

„еловек, которым вам суждено стать Ц это только тот человек, которым вы сами решите стать. © –альф ”олдо Ёмерсон
==> читать все изречени€...

1954 - | 1825 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.