Общая задача нелинейного программирования имеет вид:
,
(6.6.1)
где все функции предполагаются дифференцируемыми.
1. Необходимые условия минимума. Для произвольной допустимой точки 
введем множества индексов
, (активные ограничения неравенства)
, (все активные ограничения). (6.6.2)
Теорема 21 (Каруш-Джон). Пусть – точка локального минимума в (6.6.1), а функции 
непрерывно дифференцируемы в окрестности . Тогда найдутся числа 
не все равные 0, такие, что 
и
. (6.6.3)
Введем функцию Лагранжа
где 
, 
.
Выражение (6.6.3) называется условием стационарности. Его можно записать в виде
(6.6.3)
Согласно теореме 1 в точке локального минимума должны выполняться условия:
1) условия стационарности 
2) условия допустимости 
3) условия неотрицательности 
4) условие нетривиальности 
,
5) условие дополняющей нежесткости 
Перечисленные условия дают сумму соотношений, которые необходимо выполнить при поиске возможных точек минимума.
Сформулируем условия, при которых можно гарантировать 
.
Условие регулярности. Векторы 
, линейно независимы.
Теорема 22. Пусть – точка локального минимума в (6.6.1), функции 
непрерывно дифференцируемы в окрестности , и выполнены условия регулярности. Тогда найдутся числа 
, такие, что
, 
(6.6.4)
где 
2. Достаточные условия минимума для некоторой точки позволяют утверждать, что она является точкой минимума.
Теорема 23. Пусть – допустимая точка, функции 
дважды дифференцируемы в . Пусть для некоторого 
выполняется (6.6.4) и для некоторого 
, для которого
, 
,
, 
, (6.6.5)
, 
,
выполняется неравенство
.
Тогда 
– точка локального минимума в задаче (6.6.1).
Пример 1. Пусть требуется решить задачу минимизации
, (6.6.6)
при ограничениях
. (6.6.7)
Решение. В силу присутствия одного ограничения будет выполнено условие регулярности в виде линейной независимости градиентов ограничений в произвольной точке. Поэтому для поиска подозрительных на минимум точек используем необходимые условия
, (6.6.8)
для функции Лагранжа, записанной в виде
.
В результате получим
Решая систему уравнений, и исключая 
, получим взаимосвязь переменных 
.
На основе условия допустимости, т.е. выполнимости ограничения (6.6.7), с учетом взаимосвязи , получим 
, т.е. 
.
Матрица вторых производных функции Лагранжа имеет вид
.
В силу неравенства для произвольного s и произвольной точки пространства переменных, согласно теореме о достаточных условиях оптимальности, точка является точкой минимума.
Методы нелинейного программирования получаются из методов минимизации при ограничениях равенствах и неравенствах посредством соответствующих линейных комбинаций.
Глава 7. Основы вариационного исчисления (ВИ)
Постановка задачи, примеры и основные понятия
Вариационное исчисление - математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов. Под функционалом понимается числовая функция, определенная на некоторых классах функций. Функционал ставит в соответствие каждой функции из такого класса некоторое число. Примером функционала является интеграл 
, где 
- непрерывная функция, определенная на отрезке 
. Вариационное исчисление является развитием той части математического анализа, которая посвящена отысканию экстремумов функций.
Пример 1 (задача о брахистохроне). Между точками 
и 
, расположенными на различной высоте, нужно провести соединяющую их кривую таким образом, чтобы время падения тела, движущегося без трения вдоль кривой из в под действием силы тяжести было минимальным.
Рис. 1. Задача о брахистохроне
Поместим начало координат в точку и направим оси координат как показано на рис. 1. Предположим, что тело находится в момент начала падения в состоянии покоя. Из закона сохранения энергии следует, что
,
откуда для скорости 
имеем 
, и тем самым время падения 
(с учетом, что 
) выражается интегралом
.
Требуется найти функцию 
, график которой точки 
и 
, то есть 
и 
, и которая минимизирует указанный интеграл.
Пример 2. Найти кратчайшее расстояние между двумя точками и в плоскости 
, , т.е. найти функцию , при которой
принимает наименьшее значение. При этом должна удовлетворять условиям и .
В приведенных примерах отыскиваются функции , которые минимизируют функционал вида:
(7.1.1)
при граничных условиях:
, . (7.1.2)
Задача (7.1.1), (7.1.2) - так называемая простейшая задача вариационного исчисления.
Будем рассматривать функции из класса непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций на , которые будем обозначать 
и 
соответственно. Определим нормы в и . Аналогом расстояния между двумя функциями в каждом из классов является норма разности этих функций. Понятие нормы определяется следующим образом:
в : 
; (7.1.3)
в : 
. (7.1.4)
В качестве 
–окрестности 
функции 
понимают тождество
(7.1.5)
Если для функции 
из области определения 
существует окрестность такая, что
или 
, (7.1.6)
то 
называют (локальным) минимумом или максимумом. Элементы из 
называются также функциями сравнения.
Максимум (минимум) называется сильным, если в (7.1.6) принята норма на . Максимум (минимум) называется слабым если в (7.1.6) сравнение кривых происходит в смысле нормы .
Глобальным максимумом (минимумом) называют число для функции , если
. (7.1.7)
Из определения экстремума и норм следует, что сильный экстремум одновременно является слабым.
Основным элементом исследования в ВИ являются понятия первой и второй вариации функционала.
Положим 
и рассмотрим первую и вторую производные функции 
по параметру 
при 
. Величины 
и 
называются первой и второй вариацией функционала 
и обозначают соответственно 
и 
.
Условия 
и 
могут быть использованы при формулировке необходимых условий экстремума функционала .
