Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ќелинейное программирование




ќбща€ задача нелинейного программировани€ имеет вид:

,

(6.6.1)

где все функции предполагаютс€ дифференцируемыми.

1. Ќеобходимые услови€ минимума. ƒл€ произвольной допустимой точки введем множества индексов

, (активные ограничени€ неравенства)

, (все активные ограничени€). (6.6.2)

“еорема 21 ( аруш-ƒжон). ѕусть Ц точка локального минимума в (6.6.1), а функции непрерывно дифференцируемы в окрестности . “огда найдутс€ числа не все равные 0, такие, что и

. (6.6.3)

¬ведем функцию Ћагранжа

где , .

¬ыражение (6.6.3) называетс€ условием стационарности. ≈го можно записать в виде

(6.6.3)

—огласно теореме 1 в точке локального минимума должны выполн€тьс€ услови€:

1) услови€ стационарности

2) услови€ допустимости

3) услови€ неотрицательности

4) условие нетривиальности ,

5) условие дополн€ющей нежесткости

ѕеречисленные услови€ дают сумму соотношений, которые необходимо выполнить при поиске возможных точек минимума.

—формулируем услови€, при которых можно гарантировать .

”словие регул€рности. ¬екторы , линейно независимы.

“еорема 22. ѕусть Ц точка локального минимума в (6.6.1), функции непрерывно дифференцируемы в окрестности , и выполнены услови€ регул€рности. “огда найдутс€ числа , такие, что

, (6.6.4)

где

2. ƒостаточные услови€ минимума дл€ некоторой точки позвол€ют утверждать, что она €вл€етс€ точкой минимума.

“еорема 23. ѕусть Ц допустима€ точка, функции дважды дифференцируемы в . ѕусть дл€ некоторого выполн€етс€ (6.6.4) и дл€ некоторого , дл€ которого

, ,

, , (6.6.5)

, ,

выполн€етс€ неравенство

.

“огда Ц точка локального минимума в задаче (6.6.1).

ѕример 1. ѕусть требуетс€ решить задачу минимизации

, (6.6.6)

при ограничени€х

. (6.6.7)

–ешение. ¬ силу присутстви€ одного ограничени€ будет выполнено условие регул€рности в виде линейной независимости градиентов ограничений в произвольной точке. ѕоэтому дл€ поиска подозрительных на минимум точек используем необходимые услови€

, (6.6.8)

дл€ функции Ћагранжа, записанной в виде

.

¬ результате получим

–еша€ систему уравнений, и исключа€ , получим взаимосв€зь переменных .

Ќа основе услови€ допустимости, т.е. выполнимости ограничени€ (6.6.7), с учетом взаимосв€зи , получим , т.е. .

ћатрица вторых производных функции Ћагранжа имеет вид

.

¬ силу неравенства дл€ произвольного s и произвольной точки пространства переменных, согласно теореме о достаточных услови€х оптимальности, точка €вл€етс€ точкой минимума.

ћетоды нелинейного программировани€ получаютс€ из методов минимизации при ограничени€х равенствах и неравенствах посредством соответствующих линейных комбинаций.

√лава 7. ќсновы вариационного исчислени€ (¬»)

ѕостановка задачи, примеры и основные пон€ти€

¬ариационное исчисление - математическа€ дисциплина, посв€щенна€ отысканию экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов. ѕод функционалом понимаетс€ числова€ функци€, определенна€ на некоторых классах функций. ‘ункционал ставит в соответствие каждой функции из такого класса некоторое число. ѕримером функционала €вл€етс€ интеграл , где - непрерывна€ функци€, определенна€ на отрезке . ¬ариационное исчисление €вл€етс€ развитием той части математического анализа, котора€ посв€щена отысканию экстремумов функций.

ѕример 1 (задача о брахистохроне). ћежду точками и , расположенными на различной высоте, нужно провести соедин€ющую их кривую таким образом, чтобы врем€ падени€ тела, движущегос€ без трени€ вдоль кривой из в под действием силы т€жести было минимальным.

 

–ис. 1. «адача о брахистохроне

 

ѕоместим начало координат в точку и направим оси координат как показано на рис. 1. ѕредположим, что тело находитс€ в момент начала падени€ в состо€нии поко€. »з закона сохранени€ энергии следует, что

,

откуда дл€ скорости имеем , и тем самым врем€ падени€ (с учетом, что ) выражаетс€ интегралом

.

“ребуетс€ найти функцию , график которой точки и , то есть и , и котора€ минимизирует указанный интеграл.

ѕример 2. Ќайти кратчайшее рассто€ние между двум€ точками и в плоскости , , т.е. найти функцию , при которой

принимает наименьшее значение. ѕри этом должна удовлетвор€ть услови€м и .

¬ приведенных примерах отыскиваютс€ функции , которые минимизируют функционал вида:

(7.1.1)

при граничных услови€х:

, . (7.1.2)

«адача (7.1.1), (7.1.2) - так называема€ простейша€ задача вариационного исчислени€.

Ѕудем рассматривать функции из класса непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций на , которые будем обозначать и соответственно. ќпределим нормы в и . јналогом рассто€ни€ между двум€ функци€ми в каждом из классов €вл€етс€ норма разности этих функций. ѕон€тие нормы определ€етс€ следующим образом:

в : ; (7.1.3)

в : . (7.1.4)

¬ качестве Цокрестности функции понимают тождество

(7.1.5)

≈сли дл€ функции из области определени€ существует окрестность така€, что

или , (7.1.6)

то называют (локальным) минимумом или максимумом. Ёлементы из называютс€ также функци€ми сравнени€.

ћаксимум (минимум) называетс€ сильным, если в (7.1.6) прин€та норма на . ћаксимум (минимум) называетс€ слабым если в (7.1.6) сравнение кривых происходит в смысле нормы .

√лобальным максимумом (минимумом) называют число дл€ функции , если

. (7.1.7)

»з определени€ экстремума и норм следует, что сильный экстремум одновременно €вл€етс€ слабым.

ќсновным элементом исследовани€ в ¬» €вл€ютс€ пон€ти€ первой и второй вариации функционала.

ѕоложим и рассмотрим первую и вторую производные функции по параметру при . ¬еличины и называютс€ первой и второй вариацией функционала и обозначают соответственно и .

”слови€ и могут быть использованы при формулировке необходимых условий экстремума функционала .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1046 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќадо любить жизнь больше, чем смысл жизни. © ‘едор ƒостоевский
==> читать все изречени€...

1957 - | 1694 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.02 с.