Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Нелинейное программирование




Общая задача нелинейного программирования имеет вид:

,

(6.6.1)

где все функции предполагаются дифференцируемыми.

1. Необходимые условия минимума. Для произвольной допустимой точки введем множества индексов

, (активные ограничения неравенства)

, (все активные ограничения). (6.6.2)

Теорема 21 (Каруш-Джон). Пусть – точка локального минимума в (6.6.1), а функции непрерывно дифференцируемы в окрестности . Тогда найдутся числа не все равные 0, такие, что и

. (6.6.3)

Введем функцию Лагранжа

где , .

Выражение (6.6.3) называется условием стационарности. Его можно записать в виде

(6.6.3)

Согласно теореме 1 в точке локального минимума должны выполняться условия:

1) условия стационарности

2) условия допустимости

3) условия неотрицательности

4) условие нетривиальности ,

5) условие дополняющей нежесткости

Перечисленные условия дают сумму соотношений, которые необходимо выполнить при поиске возможных точек минимума.

Сформулируем условия, при которых можно гарантировать .

Условие регулярности. Векторы , линейно независимы.

Теорема 22. Пусть – точка локального минимума в (6.6.1), функции непрерывно дифференцируемы в окрестности , и выполнены условия регулярности. Тогда найдутся числа , такие, что

, (6.6.4)

где

2. Достаточные условия минимума для некоторой точки позволяют утверждать, что она является точкой минимума.

Теорема 23. Пусть – допустимая точка, функции дважды дифференцируемы в . Пусть для некоторого выполняется (6.6.4) и для некоторого , для которого

, ,

, , (6.6.5)

, ,

выполняется неравенство

.

Тогда – точка локального минимума в задаче (6.6.1).

Пример 1. Пусть требуется решить задачу минимизации

, (6.6.6)

при ограничениях

. (6.6.7)

Решение. В силу присутствия одного ограничения будет выполнено условие регулярности в виде линейной независимости градиентов ограничений в произвольной точке. Поэтому для поиска подозрительных на минимум точек используем необходимые условия

, (6.6.8)

для функции Лагранжа, записанной в виде

.

В результате получим

Решая систему уравнений, и исключая , получим взаимосвязь переменных .

На основе условия допустимости, т.е. выполнимости ограничения (6.6.7), с учетом взаимосвязи , получим , т.е. .

Матрица вторых производных функции Лагранжа имеет вид

.

В силу неравенства для произвольного s и произвольной точки пространства переменных, согласно теореме о достаточных условиях оптимальности, точка является точкой минимума.

Методы нелинейного программирования получаются из методов минимизации при ограничениях равенствах и неравенствах посредством соответствующих линейных комбинаций.

Глава 7. Основы вариационного исчисления (ВИ)

Постановка задачи, примеры и основные понятия

Вариационное исчисление - математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов. Под функционалом понимается числовая функция, определенная на некоторых классах функций. Функционал ставит в соответствие каждой функции из такого класса некоторое число. Примером функционала является интеграл , где - непрерывная функция, определенная на отрезке . Вариационное исчисление является развитием той части математического анализа, которая посвящена отысканию экстремумов функций.

Пример 1 (задача о брахистохроне). Между точками и , расположенными на различной высоте, нужно провести соединяющую их кривую таким образом, чтобы время падения тела, движущегося без трения вдоль кривой из в под действием силы тяжести было минимальным.

 

Рис. 1. Задача о брахистохроне

 

Поместим начало координат в точку и направим оси координат как показано на рис. 1. Предположим, что тело находится в момент начала падения в состоянии покоя. Из закона сохранения энергии следует, что

,

откуда для скорости имеем , и тем самым время падения (с учетом, что ) выражается интегралом

.

Требуется найти функцию , график которой точки и , то есть и , и которая минимизирует указанный интеграл.

Пример 2. Найти кратчайшее расстояние между двумя точками и в плоскости , , т.е. найти функцию , при которой

принимает наименьшее значение. При этом должна удовлетворять условиям и .

В приведенных примерах отыскиваются функции , которые минимизируют функционал вида:

(7.1.1)

при граничных условиях:

, . (7.1.2)

Задача (7.1.1), (7.1.2) - так называемая простейшая задача вариационного исчисления.

Будем рассматривать функции из класса непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций на , которые будем обозначать и соответственно. Определим нормы в и . Аналогом расстояния между двумя функциями в каждом из классов является норма разности этих функций. Понятие нормы определяется следующим образом:

в : ; (7.1.3)

в : . (7.1.4)

В качестве –окрестности функции понимают тождество

(7.1.5)

Если для функции из области определения существует окрестность такая, что

или , (7.1.6)

то называют (локальным) минимумом или максимумом. Элементы из называются также функциями сравнения.

Максимум (минимум) называется сильным, если в (7.1.6) принята норма на . Максимум (минимум) называется слабым если в (7.1.6) сравнение кривых происходит в смысле нормы .

Глобальным максимумом (минимумом) называют число для функции , если

. (7.1.7)

Из определения экстремума и норм следует, что сильный экстремум одновременно является слабым.

Основным элементом исследования в ВИ являются понятия первой и второй вариации функционала.

Положим и рассмотрим первую и вторую производные функции по параметру при . Величины и называются первой и второй вариацией функционала и обозначают соответственно и .

Условия и могут быть использованы при формулировке необходимых условий экстремума функционала .





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-02-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1081 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Человек, которым вам суждено стать – это только тот человек, которым вы сами решите стать. © Ральф Уолдо Эмерсон
==> читать все изречения...

2507 - | 2332 -


© 2015-2025 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.