Рассмотрим задачу оптимального управления:
, (9.1.1)
,
,
, (9.1.2)
,
(9.1.3)
, (9.1.4)
,
– кусочно–непрерывна
Моменты времени ,
будем считать заданными. Дифференциальные уравнения в (9.1.2) описывают движение некоторого управляемого объекта (течение управляемого процесса, изменения управляемой системы) в зависимости от времени t. Предполагается, что вектор
(фазовые координаты) характеризует движение объекта (например, координаты объекта), а вектор
характеризует управление объектом (например, «положения рулей» объекта) в момент времени t. Согласно (9.1.2), начальное состояние объекта определено
. Если управление определено, то фазовые координаты объекта определяются как решение задачи Коши
,
,
.
Для приближенного решения задачи разобьем отрезок на
частей точками
и приняв эти точки в качестве узловых, заменим интеграл в (9.1.1) квадратурной формулой прямоугольников, уравнения (9.1.2) – разностными формулами с помощью явной схемы Эйлера. В результате придем к дискретной задаче оптимального управления:
, (9.1.5)
,
,
,
, (9.1.6)
,
, (9.1.7)
,
,
, (9.1.8)
где ,
,
,
. Задача (9.1.5)– (9.1.8) имеет самостоятельный интерес и возникает при описании управляемых дискретных систем, в которых сигналы управления поступают в дискретные моменты времени, фазовые координаты также меняются дискретно.
Система (9.1.6) с некоторым дискретным управлением однозначно определяет соответствующую дискретную траекторию
обозначим ее
. Зафиксируем некоторое
и через
обозначим множество управлений
таких, что 1) выполнены условия (9.1.8); 2) дискретная траектория
, соответствующая управлению
и выбранному начальному условию
, удовлетворяет ограничениям (9.1.7). Следовательно:
удовлетворяет (9.1. 8); траектория
удовлетворяет (9.1.7)}.
Пару (u0, х0), состоящую из управления и траектории, будем называть допустимой для задачи (9.1.5)–(9.1.8), если эта пара удовлетворяет всем условиям (9.1.6)–(9.1.8) или, иначе говоря, . Если
при всех
, то условия (9.1.6)–
(9.1.8) несовместны и функция (9.1.5) будет определена на пустом множестве.
Обозначим
.
Задача (9.1.5)–(9.1.8) формулируется кратко:
минимизировать при
.
Допустимую пару назовем решением задачи (9.1.5)–(9.1.8), если
.
Будем называть – оптимальным управлением,
– оптимальной траекторией задачи (9.1.5)–(9.1.8).
Задача (9.1.5)–(9.1.8) является задачей минимизации функции переменных и для ее решения, в принципе, могут быть использованы методы нелинейного программирования (НЛП). Отмеченная размерность в практических задачах может быть очень высокой, а множества
,
заданы неявно, что сильно усложняет задачу НЛП.