Методы решения задачи с ограничениями равенствами

Метод линеаризации. В этом методе на каждой итерации ограничения и минимизируемая функция линеаризуются и добавляется квадратичный член для получения ограниченной задачи. Очередное приближение есть решение линеаризованной задачи минимизации при линеаризованных ограничениях

(6.3.1)

Теорема 12. Пусть – точка невырожденного минимума в задаче (6.2.1), а удовлетворяют условию Липшица в окрестности . Тогда существует такое, что при метод (6.3.1) корректно определен и локально сходится к со скоростью геометрической прогрессии.

Задачу (6.2.1), используя правило множителей Лагранжа в форме (6.2.5) сведем к решению системы уравнений

(6.3.2)

Решение системы (6.3.2) дает решение задачи (6.2.1) и оценки двойственных переменных – множителей Лагранжа .

Двойственные методы. В этих методах используется факт, что в стационарной точке функции Лагранжа достигается минимум по переменным и максимум по переменным. В методе Эрроу-Гурвица

,

(6.3.3)

делается шаг градиентного метода по переменным и .

Теорема 13. Пусть – точка невырожденного минимума в задаче (6.2.1), и вторые производные удовлетворяют условию Липшица в окрестности . Тогда найдется такое, что при метод (6.3.3) локально сходится к со скоростью геометрической прогрессии.

Модификация метода (6.3.3) состоит в полной минимизации по

(6.3.4)

Для метода (6.3.4) справедлива теорема 13, но при достаточно близком начальном приближении к минимуму .

Методы модифицированной функции Лагранжа. Методы (6.3.3)- (6.3.4), основанные на модифицированной функции Лагранжа

(6.3.5)

обладают лучшими свойствами, поскольку условия экстремума (6.2.10) определяют точку минимума задачи (6.2.1) , как точку минимума функции в случаях, когда условия (6.2.5) определяют ее как стационарную точку. Аналог метода (6.3.3)

(6.3.6)

Теорема 14. Пусть – точка невырожденного минимума в задаче (6.2.1), вторые производные удовлетворяют условию Липшица в окрестности . Тогда при достаточно больших найдется такое, что при метод (6.3.6) локально сходится к со скоростью геометрической прогрессии.

Аналогом метода (6.3.4) является метод с полной минимизации по

(6.3.7)

Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для всякого , достаточно близкого к , найдется такое, что при метод (6.3.7) сходится к со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой .

Метод штрафных функций имеет вид

. (6.3.8)

Теорема 16. Пусть задача (6.2.1) имеет решения, их множество обозначим . Пусть непрерывны, ограничено и замкнуто, . Тогда всякая предельная точка метода (6.3.8) (в задаче (6.3.8) предполагается вычисление глобального минимума) является глобальным минимумом для задачи (6.2.1).

Здесь – некоторое ограниченное замкнутое множество локализации минимума, введенное для того, чтобы решение задачи безусловной минимизации существовало.

Следует отметить надежность метода штрафных функций в зависимости от начального приближения. Поэтому его можно использовать на первом этапе, а более быстрый метод модифицированной функции Лагранжа – на втором.