Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


«адачи минимизации с ограничени€ми равенствами




ћы рассмотрим услови€ экстремума и методы решени€ задач вида

(6.2.1)

где Ц гладкие функции. “очки называютс€ допустимыми.

”слови€ минимума первого пор€дка (правило множителей Ћагранжа). “очка называетс€ локальной точкой минимума (или просто точкой минимума) в задаче (6.2.1), если при некотором .

≈сли то Ц точка глобального минимума.

“еорема 8 (необходимое условие минимума 1 пор€дка). ѕусть Ц точка минимума в задаче (6.2.1), функции непрерывно дифференцируемы в окрестности . “огда найдутс€ числа не все равные 0, такие что

. (6.2.2)

Ѕудем называть регул€рной точкой минимума, если функции непрерывно дифференцируемы в ее окрестности и линейно независимы.

“еорема 9 (правило множителей Ћагранжа, необходимое условие минимума 1 пор€дка). ≈сли Ц регул€рна€ точка минимума в задаче (6.2.1), то найдутс€ числа такие, что

. (6.2.3)

ƒоказательство теоремы 2 следует из теоремы 1, в силу линейной независимости векторов

„исла в (6.2.3) называютс€ множител€ми Ћагранжа. ‘ункци€

(6.2.4)

называетс€ функцией Ћагранжа (‘Ћ). ѕравило множителей Ћагранжа в терминах функции Ћагранжа формулируетс€ в виде:

(6.2.5)

где и Ц производные по соответствующим переменным. «десь первое из условий (6.2.5) соответствует условию (6.2.3), а второе Ц это услови€ допустимости , или ѕеременные называют пр€мыми переменными, а Ц двойственными. Ћишь при определенных услови€х точка €вл€етс€ седловой точкой функции Ћагранжа, т.е.

(6.2.6)

”слови€ минимума второго пор€дка.

“еорема 10 (необходимое условие II пор€дка). ѕусть Ц регул€рна€ точка минимума в задаче (6.2.1), функции дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности , а Ц множители Ћагранжа. “огда

(6.2.7)

дл€ всех .

ћожно сказать, матрица вторых производных функции Ћагранжа в точке минимума неотрицательно определена на касательном подпространстве , т.е. на подпространстве, смещени€ в котором не контролируютс€ ограничени€ми. ѕоэтому вдоль этих направлений примен€ютс€ услови€ безусловной минимизации.

ƒостаточные услови€ минимума дл€ некоторой точки позвол€ют утверждать, что она €вл€етс€ точкой минимума.

“еорема 11 (достаточное условие II пор€дка). ѕусть Ц допустима€ точка, функции , , дважды дифференцируемы в окрестности , линейно независимы, выполнено необходимое условие минимума (6.2.5) и

(6.2.8)

“огда Ц точка локального минимума в задаче (6.2.1).

“аким образом, матрица вторых производных функции Ћагранжа в точке минимума строго положительно определена на касательном подпространстве , т.е. на подпространстве, смещени€ в котором не контролируютс€ ограничени€ми. ѕоэтому вдоль этих направлений примен€ютс€ услови€ безусловной минимизации.

“очку , в которой выполн€ютс€ услови€ теоремы 4, будем называть невырожденной точкой минимума (невырожденным минимумом).

¬ведем модифицированную функцию Ћагранжа

(6.2.9)

где Ц некоторый параметр. Ќеобходимые услови€ экстремума (6.2.5) можно записать, использу€ функцию

(6.2.10)

где множители Ћагранжа те же, что и в (6.2.5). ќказываетс€, при достаточно больших точка €вл€етс€ точкой минимума функции при услови€х теоремы 4. ƒл€ обычной функции Ћагранжа последнее свойство не всегда выполн€етс€, хот€ точка €вл€етс€ стационарной точкой.

ѕример 1. Ќайти экстремумы функции , при ограничении .

—оставим функцию Ћагранжа

.

ѕервое из условий (6.2.5) дает систему

.

ќтсюда найдем . ќтсюда следует взаимосв€зь . »спользу€ полученные соотношени€ в ограничении, получим возможные решени€ дл€ подозрительных точек , где .

»сследуем матрицу вторых производных при различных значени€х

(6.2.11)

ѕри направление , ортогональное градиентам в точках будет . —огласно (6.2.11) дл€ этого будет выполнено (6.2.8). ѕоэтому точки будут точками минимума. ѕри дл€ точек получаетс€ , что соответствует условию максимума функции. ƒл€ проверки этого следует сменить знак функции и решить задачу заново. ¬ результате дл€ точек будет выполнено условие минимума, что означает максимум исходной функции.

ѕример 2. –ешить задачу

. (6.2.12)

—оставим функцию Ћагранжа

(6.2.13)

”словие стационарности

. (6.2.14)

ќтсюда и услови€ допустимости следует . ѕоскольку матрица вторых производных функции Ћагранжа положительно определена дл€ всех , то €вл€етс€ точкой минимума.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 594 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќадо любить жизнь больше, чем смысл жизни. © ‘едор ƒостоевский
==> читать все изречени€...

1422 - | 1182 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.02 с.