Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћинимизаци€ на простых множествах




Ќаиболее проста€ задача условной минимизации имеет вид

, (6.1.1)

где Ц множество простой структуры. Ќапример, параллелепипед , шар , линейное многообразие .

”слови€ экстремума. “очка называетс€ локальной точкой минимума (или просто точкой минимума) в задаче (6.1.1),

если при некотором .

≈сли то Ц точка глобального минимума.

ћножество называетс€ выпуклым,

если при точка дл€ .

“еорема 1 (необходимое условие минимума 1 пор€дка). ѕусть дифференцируема в точке минимумаx , а Цвыпуклое множество. “огда

. (6.1.2)

ƒоказательство производитс€ от противного. ѕредполагаетс€, что существует точка не удовлетвор€юща€ (6.1.2). Ќа основе этого предположени€ на луче находитс€ точка с меньшим значением функции, что противоречит предположению, что Ц точка минимума.

”словие (6.1.2) означает, что множество и множество , образованное направлени€ми локального убывани€ не должны пересекатьс€.

ƒл€ выпуклой удаетс€ сформулировать достаточное условие экстремума в терминах первой производной.

“еорема 2 (достаточное условие минимума 1 пор€дка). ѕусть дифференцируема в точке , Цвыпуклое множество и выполн€етс€ условие

,

. (6.1.3)

“огда Цточка локального минимума на .

¬ услови€х теоремы 2 минимум достигаетс€ на границе.

“еорема 3 (Ќеобходимое и достаточное условие минимума 1 пор€дка). ѕусть выпукла€ на и дифференцируема€ в точке функци€. “огда условие

, (6.1.4)

€вл€етс€ необходимым и достаточным дл€ того, чтобы был глобальным минимумом на .

—уществование и единственность минимума.

“еорема 4 (¬ейерштрасса). ѕусть Цнепрерывна€ на , множество замкнуто, а множество ограничено и непусто дл€ некоторого . “огда задача (6.1.1) имеет решение.

≈сли выполн€етс€ достаточное условие минимума (6.1.3), то минимум единственный.

“еорема 5. ¬ услови€х теоремы 2 Цлокально единственна€ точка минимума.

 ак и в случае минимизации без ограничений, единственность решени€ гарантируетс€ строгой выпуклостью функции .

ƒадим изложение основных методов решени€ задачи (6.1.1).

ћетод проекции градиента €вл€етс€ обобщением градиентного метода, в котором выход за множество ограничений вс€кий раз компенсируетс€ посредством перехода в точку проекции

, (6.1.5)

где операци€ проектировани€ определена выражением

. (6.1.6)

“еорема 6. ѕусть Ц выпукла€ дифференцируема€ функци€ в , градиент которой удовлетвор€ет условию Ћипшица с константой . ѕусть выпуклое и замкнутое, и . “огда:

а) ;

б) если сильно выпукла, то со скоростью геометрической прогрессии;

в) если дважды дифференцируема и , то знаменатель прогрессии равен ;

ћетод условного градиента. ¬ его основе лежит иде€ линеаризации функции и использование линеаризации дл€ вычислени€ направлени€ спуска посредством минимизации методом проекции градиента полученной линейной функции на множестве

, (6.1.7)

. (6.1.8)

ѕредполагаетс€ что задача минимизации (6.1.7) имеет решение, что решение может быть найдено достаточно просто и указано правило выбора шагового множител€ .

“еорема 7. ѕусть f(x) Ц выпукла€ дифференцируема€ функци€ в , градиент которой удовлетвор€ет условию Ћипшица с константой . ѕусть выпуклое и замкнутое, и . “огда предельные точки последовательности Ц точки минимума и справедливы оценки:

(6.1.9)

(6.1.10)





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 669 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаука Ч это организованные знани€, мудрость Ч это организованна€ жизнь. © »ммануил  ант
==> читать все изречени€...

442 - | 384 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.