Условия экстремума являются основой, на которой строятся методы решения задач оптимизации и дают информацию о свойствах решения. Доказательства условий экстремума и их вид часто указывают путь построение методов оптимизации. В этом разделе будут рассмотрены условия экстремума задачи минимизации без ограничений (5.0.1).
Точка х называется стационарной, если в ней выполнено условие
. (5.2.1)
Теорема 1. (Необходимое условие 1 порядка). Пусть 
- точка минимума 
и 
дифференцируема в , тогда выполняется условие стационарности (5.2.1).
Доказательство следует из возможности линейного представления функции в точке . Не всякая из точек, удовлетворяющих (5.2.1) является точкой минимума. Она может быть точкой максимума или седловой точкой.
Теорема 2. (Достаточное условие 1-го порядка). Пусть - выпуклая функция, дифференцируется в точке и выполняется условие (5.2.1). Тогда - точка глобального минимума на 
.
Доказательство следует из (5.1.3).
Теорема 3. (Необходимое условие 2-го порядка). Пусть - точка минимума 
и дважды дифференцируется в . Тогда 
.
Теорема 4. (Достаточное условие 2-го порядка). Пусть в точке дважды дифференцируема, выполнено условие (5.2.1) и 
. Тогда точка - точка локального минимума.
Теорема 5. (Существование решения). Пусть непрерывна на и множество 
для некоторого 
не пусто и ограничено. Тогда существует точка глобального минимума на .
Теорема 6. Точка минимума строго выпуклой функции, если она существует, единственна.
Теорема 7. Точка минимума сильно выпуклой функции существует и единственна.
