Примеры оптимизационных задач

Рассмотрим некоторые из примеров задач оптимизации.

1) Оценка параметров и структуры математической модели. Задачи поиска оптимума возникают, например, при построении математических моделей. Когда для изучения какого-либо явления конструируется математическая модель, к оптимизации прибегают для того, чтобы определить ее структуру и параметры, которые обеспечивают наилучшее согласование с реальностью.

Пусть результат измерения случайной величины зависит от , причем

,

где - результат измерения, - функция, вид которой известен, - неизвестные параметры функции. Оценка неизвестных параметров при определенных условиях может быть произведена, например, по методу наименьших квадратов посредством минимизации суммы квадратов

по . Здесь - количество наблюдений.

Для определения структуры модели, т.е. определение ее вида, создается множество альтернативных моделей, среди которых выбирается одна из моделей по некоторому критерию. В качестве критерия может выступать либо сумма квадратов , либо оценка дисперсии модели.

2) Распределение ресурсов в условиях неполной информации. Пусть имеется ресурсов в количествах, задаваемых компонентами , , вектора . Обозначим матрицу размера . Столбец – матрицы A характеризует затраты ресурсов на единицу интенсивности -го способа производства. Обозначим вектор, компоненты которого , , -го способа производства, а вектор, компоненты которого , , доход от единицы продукции -го способа производства. Обозначим - общий доход. В принятых обозначениях задача распределения ресурсов между способами производства с целью максимизации дохода имеет вид:

, . (1.2.1)

Для некоторых практических задач такая детерминированная модель не адекватна реальности, так как , случайные величины. Предположим, что с - случайный вектор с математическим ожиданием и ковариационной матрицей V. Тогда значение целевой функции z будет случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией .

Для максимизации ожидаемого значения z следует решить задачу

, .

Если требуется минимизировать дисперсию показателя z, то необходимо решить задачу

, , .

В реальных задачах возникает потребность получения максимального дохода при малых значениях дисперсии. Это многокритериальная задача, которая в некоторых постановках может быть сведена к однокритериальной задаче.

В следующей постановке требуется достигнуть лишь заданного уровня дохода при минимуме дисперсии.

, , , .

Другой подход может состоять в минимизации вероятности недостижения заданного уровня дохода. . Пусть , где d, f -детерминированные векторы, а y - случайная составляющая. Тогда

.

Максимизация сводится к решению задачи:

, .

В том случае, когда с - случайный вектор, в зависимости от степени неприятия риска k, производится максимизация ожидаемого значения полезности

, , .

Приведенная функция полезности учитывает степень риска, связанную со случайным характером величины вектора дохода с, и основана на функции полезности индивида:

и предположении нормального закона распределения вектора c. Последняя функция при увеличении или уменьшении дохода z на величину более существенно реагирует на уменьшение дохода.