Как уже известно сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических частот. Эмпирические частоты находят из опыта. Теоретические частоты рассчитываются следующим образом [3].
1. Весь интервал наблюдаемых значений X (выборки объема n) делят на s частичных интервалов (x1, хi+1) одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов хi* = (xi + xi+1) /2; в качестве частоты ni варианты xi принимают число вариант, которые попали в i -й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:
х1* х2*... хs.
n1 n2... ns.
При этом Σ ni = n.
2. Вычисляют, например методом произведений, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение σ*.
3.Нормируют случайную величину X, т. е. переходят к величине Z = (X— )/σ* и вычисляют концы интервалов (zi, zi+1):
zi = (xi ‑ ) /σ*, zi+1 = (xi+1 ‑ ) / σ*,
причем наименьшее значение Z, т. е. z1 полагают равным -∞ а наибольшее, т.е. zs, полагают равным ∞
4. Вычисляют теоретические вероятности рi попадания в интервалы (xi, xi+1) по равенству:
pi=Ф(zi+1)-Ф (zi),
где Ф (z) - функция Лапласа (см. таблицу приложения 4)
и, наконец, находят искомые теоретические частоты: n'i = пpi.
Пример решения задачи к разделу 3.4.4. [3 ]
Пример 5. Найти теоретические частоты по заданному интервальному распределению выборки объема п =200, предполагая,что генеральная совокупность распределена нормально(табл. 3.3)
Решение
1. Найдем середины интервалов xi* = (xi+xi+1)/2, Например, xi* = (4 + 6)/2 = 5. Поступая аналогично, получим последовательность равноотстоящих вариант хi* и соответствующих им частот ni
xi* 5 7 9 11 13 15 17 19 21
ni 15 26 25 30 26 21 24 20 13
2.Пользуясь методом произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение:
= 12,63, σ * = 4,695.
3.Найдем интервалы (zi, zi+1), учитывая, что = 12,63, σ * = 4,695, 1/ σ * = 0,213, для чего составим расчетную табл. 3.4
Таблица 3.3.
Номер интер- вала | Границы интервала | Частота | Номер интер- вала | Границы интервала | Частота | ||
интервала | |||||||
i | xi | xi+1 | ni | i | xi | xi+1 | ni |
n = 200 |
4.Найдем теоретические вероятности pi и искомые теоретические частоты ni'= npi, для чего составим расчетную табл. 3.5.
Таблица 3.4.
i | Границы интервала | xi - | (xi+1- ) | Границы интервала |
‑ | ‑6,63 | -∞ | ‑1,41 | |||
‑6,63 | ‑4,63 | ‑1,41 | ‑0,99 | |||
‑4,63 | ‑2,63 | ‑0,99 | ‑0,56 | |||
‑2,63 | ‑0,63 | ‑0,56 | ‑0,13 | |||
‑0,63 | 1,37 | ‑0,13 | 0,29 | |||
1,37 | 3,37 | 0,29 | 0,72 | |||
3,37 | 5,37 | 0,72 | 1,14 | |||
5,37 | 7,37 | 1,14 | 1,57 | |||
7,37 | ‑ | 1,57 | ∞ |
xi | xi+1 | zi = =(xi - )/ σ* | zi+1 = =(xi+1- σ* |
Таблица 3.5.
i | Границы Интервала | Ф(zi) | Ф(zi+1) | pi= Ф(zi+1)- - Ф(zi) | i=npi= = 200 pi | |
zi | zi+1 | |||||
‑ ∞ | ‑1,41 | ‑0,5000 | ‑0,4207 | 0,0793 | 15,86 | |
‑1,41 | ‑0,99 | ‑0,4207 | ‑0,3389 | 0,0818 | 16,36 | |
‑0,99 | ‑0,56 | ‑0,3389 | ‑0,2123 | 0,1266 | 25,32 | |
‑0,56 | ‑0,13 | ‑0,2123 | ‑0,0517 | 0,1606 | 32,12 | |
‑0,13 | 0,29 | ‑0,0517 | 0,1141 | 0,1658 | 33,16 | |
0,29 | 0,72 | 0,1141 | 0,2642 | 0,1501 | 30,02 | |
0,72 | 1,14 | 0,2642 | 0,3729 | 0,1087 | 21,74 | |
1,34 | 1,57 | 0,3729 | 0,4418 | 0,0689 | 13,78 | |
1,57 | ∞ | 0,4418 | 0,5000 | 0,0582 | 11,64 | |
Σpi = 1 | Σ = = 200 |
Искомые теоретические частоты помещены в последнем столбце табл. 3.5.