Изделие может находиться в двух состояниях: Е0 - работоспособное, Е1 - неработоспособное. Если λ - интенсивность отказов, а μ - интенсивность восстановления, то граф состояний будет иметь вид, (см.рис. 4.2.)
Рисунок 4.2. Граф состояний изделия
|
Систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей переходов всегда можно составить непосредственно по виду графа состояний, если применить следующее правило.
В левой части уравнения записывается производная вероятности i-го состояния 
а в правой части столько членов, сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием. Если стрелка направлено в данное состояние, то ставится плюс, а если из данного состояния – минус. Каждый член равен произведению интенсивности соответствующего потока событий (λ или µ), переводящего систему по данной стрелке в другое состояние, на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.
Применяя это формальное правило для графа состояний изделия (см. рис. 4.2) получим систему дифференциальных уравнений
(4.16)
При начальных условиях Р0(0) = 1, Р1(0) = 0 и предположении, что события Е0 и Е1, представляют полную группу событий, система уравнений (4.16) решается следующим образом. На основании преобразования Лапласа можно записать
(4.17)
Методом подстановки определяем
Р0 (ε) = (ε + μ)/(ε + λ + μ)ε. (4.18)
Коэффициент готовности, как вероятность нахождения установки в работоспособном состоянии, можно определить обратным преобразованием Лапласа.
KГ(t)=Po(t)= 
+ 
e-(λ+μ)t. (4.19)
При t 
, устанавливается стационарный режим, тогда
KГ=μ/(λ+μ). (4.20)
Поскольку для простейшего потока λ = 1/Т, а μ = 1/ Тв, то
КГ=Т/(Т+Тв). (4.21)
Пример решения задачи к разделу 4.2 [21]
Пример 2. В системе электроснабжения потребителя включено два предохранителя. Интенсивность отказов каждого из них λ = 5 •10-3 ч-1,интенсивность восстановления μ =2 ч-1. При отказе любого из предохранителей электроустановка не работоспособна. При этом исправный предохранитель не отключается, и в нем могут происходить отказы. Определить коэффициент готовности.
Решение.
Система электроснабжения может находиться в одном из трех состояний:
0.— оба предохранителя исправны,
1.— вышел из строя один предохранитель,
2. - вышли из строя оба предохранителя.
Потребитель получает питание только в состоянии 0 и не получает его в состояниях 1 и 2. Граф состояний системы показан на рис.4.3.
|
Рисунок 4.3. Граф состояний системы с двумя предохранителями
Для данной схемы можно составить систему дифференциальных уравнений
При значении t 
получим систему алгебраических уравнений
Используя нормировочное уравнение Р0 + Р1 + Р2 = 1, и заменяя им любое уравнение системы, получим систему уравнений, которую можно решить подстановкой, или с помощью правила Крамера. В результате получим
Р0 = μ 2/(μ2 + 2λμ + 2λ2),
Р1 = 2λμ /(μ2 + 2 
+ 2λ2,
Р2 = 2λ2/(μ2 + +2 + 2 
2).
Коэффициент готовности системы равен
КГ = Р0 = μ.2/(μ2+2λμ+2 
2) = 22/[22+2 
2 •5 •10-3+2•(5•10-3)2] = 0,995.
Рассмотрим систему из последовательно восстанавливаемых элементов. Такая система прекращает свою работу всякий раз, как только повреждается любой из этих элементов. На практике потоки отказов элементов систем электроснабжения обладают свойством ординарности, которое позволяет пренебречь одновременным отказом более одного элемента.
Система, состоящая из n одинаковых последовательно соединенных элементов, имеет два состояния (рисунок 4.4.) «0» - все элементы находятся в рабочем состоянии, «1» ‑ один из элементов отказал.
Рисунок 4.4 Граф состояний системы из n последовательно соединенных элементов
Система уравнений состояния при различных начальных условиях будет иметь вид
(4.22)
Решая систему полученных дифференциальных уравнений при начальных условиях Р0 (0) = 1, Р1 (0) = 0, получаем
KГ (t) = P0 (t) = 
+ 
e-(nλ+μ)t . (4.23)
Для стационарного состояния (t→ 
) коэффициент готовности
KГ = 
= 
= 
. (4.24)
Если элементы системы имеют различные показатели надежности, т.е. различные значения λi и μi то система может находиться в n различных состояниях по продолжительности с вероятностями
Pi = 
P0 = 
KГ.С. (4.25)
Стационарный коэффициент готовности в этом случае определяется по формуле
КГ.С = 
. (4.26)
Для высоконадежных элементов систем электроснабжения при относительно небольшом значении n в практических расчетах используется приближенная формула
KГ.С 
. (4.27)
