Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕример решени€ задачи дл€ —ћќ с ожиданием




 

ѕример 1. ¬ электроцехе энергетического предпри€ти€ имеетс€ 5 ремонтных бригад (n = 5 каналов). ¬ электроцех поступает простейший поток за€вок на ремонт с плотностью λ = 4 за€вки в мес€ц. —редн€€ продолжительность ремонта T0 = 1мес€ц. ќпределить веро€тность образовани€ очереди на ремонт.

–ешение

Ќайдем приведенную плотность потока за€вок α= λ/μ=λ“0=4∙1=4.

ѕо формуле –отк =

0“ . = 45/[5! (1+ 4/1+ 42/2! + 43/3! + 44/4! + 45/5!)] = 0,16.

ќтметим, что при заданной веро€тности отсутстви€ очереди на ремонт,известных интенсивности отказов электрооборудовани€ и средней продолжительности ремонта единицы электрооборудовани€ можно определить оптимальное количество ремонтных бригад.

 

–ассмотрим расчет показателей надежности восстанавливаемых —ћќ.

 оличественные характеристики показателей надежности завис€т от состо€ни€ системы в каждый момент времени. ѕроцессы изменени€ состо€ний системы, на которые в основном вли€ют случайные отказы отдельных элементов, описываютс€ с использованием пуассоновских случайных процессов (редкие случайные €влени€). ѕри экспоненциальном распределении времен между отказами и ремонтами используютс€ марковские случайные процессы

ћатематический аппарат дл€ анализа надежности восстанавливаемых —ћќ разработан на основе марковской модели с дискретным множеством состо€ний и непрерывным временем [4,5,7]. ƒл€ этого необходимо, чтобы потоки, перевод€щие систему из состо€ни€ в состо€ние, были пуассоновскими, а законы распределени€ наработки до отказа и времени восстановлени€ были бы экспоненциальными. —труктуры системы изображаетс€ в виде графов состо€ний с пр€мыми (отказ) и обратными (ремонт) переходами.

ќбычно рассматриваютс€ марковские процессы у которых дл€ любого момента времени веро€тность каждого состо€ни€ элемента (системы) в будущем зависит только от состо€ни€ в насто€щий момент, и не зависит от того, каким образом элемент (система) пришел в это состо€ние.

»спользовани€ марковских случайных процессов в системах электроснабжени€ подтверждаетс€ практикой их эксплуатации.[6].

ƒействительно, в большинстве случаев, каждый элемент системы €вл€етс€ достаточно надежным и отказывает сравнительно редко. ѕоток отказов каждого элемента образуетс€ из суммы потоков его конструктивых частей. Ёти потоки независимы. јналогичный вывод можно сделать о системе электроснабжени€ в целом. ≈сли не рассматривать каскадное развитие аварии, то по€вление отказа элемента на одном интервале времени почти не вли€ет на по€вление отказов в другое врем€. ѕоэтому поток отказов таких элементов системы в целом можно рассматривать как пуассоновский.

¬ периоды приработки, интенсивного износа и старени€ потоки отказов элементов не обладают марковским свойством. Ќо на практике продолжительность этих периодов сокращаетс€ за счет проведени€ испытаний ответственных элементов системы до начала эксплуатации и плановой замены морально устаревшего и изношенного оборудовани€.

»сход€ из вышеизложенного, рассмотрим математические модели, отвечающие нормальному периоду эксплуатации элементов (подсистем), что представл€ет наибольший практический интерес.

ѕор€док исследовани€ системы с использованием марковских случайных процессов:

1. ¬водитс€ пон€тие состо€ни€ системы. ¬ данном случае это будет чередующийс€ процесс отказов и восстановлений системы.

2. ќписываютс€ все состо€ни€ системы, в которых она может находитьс€. ћножество состо€ний системы представл€етс€ в виде вектора = < 0, 1,..., b >.. ѕри этом N = b + 1 - общее число состо€ний системы.

3. —оставл€етс€ граф состо€ний системы в следующем виде (рис.4.1).


 

 

–исунок 4.1. √раф состо€ний системы

4. ќпредел€етс€ вектор начальных условий

(0) = P0= < P0(0),–1(0),..., –b(0) >.

5.ƒл€ каждого возможного перехода указываетс€ интенсивность λξk.. —оставл€етс€ матрица переходов Λ = || λξk.||NN.

6.¬водитс€ вектор веро€тности состо€ни€: (t) = < –0 (t), –1, (t),..., Pb(t)>, где Ρζ - веро€тность пребывани€ системы в ξ- м состо€нии в момент времени t. ѕоскольку событи€, отображающие веро€тности Ρζ (t), образуют полную группу, то = 1 рассматриваетс€ как нормировочное уравнение. «адача сводитс€ к определению вектора переходных веро€тностей, который позвол€ет рассчитать необходимые показатели надежности.

7.—оставл€етс€ система дифференциальных уравнений  олмогорова

dPξ(t) / dt = ‑Pξ(t) ξk + ξkPk(t), (4.9)

 

k= 1, 2,Е,b; Pξ(0) = Pξ0.

”равнение  олмогорова в матричной форме имеет вид

 

=αP(t),P(0)=P0, (4.10)

 

где α = || .||NN, αξk =

 

или использу€ условие нормировки, после преобразовани€, получим

 

= βp(t) = C, (4.11)

 

где β = || .||bb, =

 

C = λ01, λ02,Е,λob

 

8. –ешаетс€ система дифференциальных или алгебраических уравнений (в случае установившегос€ процесса, dP/dt=0).”равнение  олмогорова представл€ет собой систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. –ешение такой системы уравнений может быть выполнено на Ё¬ћ.

ƒл€ практических целей удобно решать систему дифференциальных уравнений на основе преобразовани€ Ћапласа. ѕосле операторного преобразовани€ Ћапласа уравнение  олмогорова примет вид

s–(s) = β–(s) ‑ – (0), (4.12)

где – (s) - матрица-столбец искомых веро€тностей;

β - матрица коэффициентов переходов; – (0) - матрица-столбец начальных значений веро€тностей.

–ешение уравнени€ (4.12)

– (s) = [sI Ц β]-1 – (0), (4.13)

где I - единична€ матрица.

 

9.Ќа практике процесс функционировани€ систем электроснабжени€ длитс€ в течении нескольких лет. “аким образом можно перейти к предельным веро€тност€м. ѕри существовании предельного стационарного режима система случайным образом мен€ет свои состо€ни€, но веро€тность каждого из них уже не зависит от времени, то есть каждое из состо€ний осуществл€етс€ с некоторой посто€нной веро€тностью, представл€ющей не что иное, как среднее относительное врем€ пребывани€ системы в данном состо€нии. ¬ектор финальных веро€тностей, характеризующих стационарный режим

 

=<–1∞,–2∞,Е,–b>, (4.14)

 

√де Pξ = lim Pξ(t), ζ= 1,2,Е,b определ€етс€ укороченным уравнением  олмогорова.

β– = ‑—. (4.15)

Ёто уравнение с учетом того, что позвол€ет найти веро€тности всех состо€ний.

10.–ассчитав веро€тности состо€ний находим показатели надежности.

–ассмотрим вопросы оценки надежности восстанавливаемых систем электроснабжени€ с учетом специфики их эксплуатации.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1124 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћогика может привести ¬ас от пункта ј к пункту Ѕ, а воображение Ч куда угодно © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

521 - | 533 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.