Пример 3. Определение характеристик безопасности железобетонного сечения

По условиям примера 2 для прямоугольного железобетонного сечения определить характеристику безопасности b, Вероятность безотказной работы
P (S > 0), вероятность разрушения V=P (S < 0), интегральный коэффициент запаса .

Для вычисления значений параметров безопасности необходимо знать статистические характеристики случайных величин, входящих в формулу (II.5), – математические ожидания , и дисперсии (коэффициенты вариации f_R и f_F) обобщенной прочности R и обобщенной нагрузки F. Статистические характеристики обобщенной прочности – предельного изгибающего момента в сечении M – получены в примере 2: = m_M= 770,6кН×м; коэффициент вариации . Статистические характеристики обобщенной нагрузки – изгибающего момента в сечении от внешних нагрузок, находим по заданному коэффициенту вариации и расчетному изгибающему моменту M* =540 кН×м. Принимаем, что обеспеченность расчетного момента M * равна 3 стандартам, тогда математическое ожидание кН×м; стандарт 47,65 кНм.

Характеристика безопасности .

По формуле (III.12) вероятность безотказной работы ; риск V =0,3×10^-10. Коэффициент запаса .

Уровень безопасности при b=6,43 является неоправданно высоким, это приводит к перерасходу материала и удорожанию конструкции в целом. Содержащиеся в нормах проектирования нормативные значения нагрузок, сопротивления материалов, значения коэффициентов надежности, определяющие уровень надежности, назначены, в основном, из практического опыта, который свидетельствует о том, что повреждения и обрушения конструкций чаще всего связаны с допущенными ошибками при строительстве и эксплуатации, а не с недостаточным уровнем надежности, заложенным в проектные решения. Это послужило косвенным основанием для наметившейся за последние годы тенденции постепенного снижения расчетных значений нагрузок и повышения расчетных значений сопротивлений материалов.

 

ПРИМЕР 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЁТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАГРУЗКИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ УРОВНЕ БЕЗОПАСНОСТИ

Определить расчетные характеристики нагрузки и несущей способности сечения при заданном уровне безопасности b = 3,0; P (S > 0)= Ф* (b)=0,9987 по результатам вычислений примеров 1, 2 и 3.

При уменьшении b график плотности распределения резерва прочности p (S) сдвигается по оси S влево на интервал (m_{S 1} –m_S), где кНм – математическое ожидание резерва прочности S при b=6,43; m_{S 1} – то же для b=3,0 (рис. 11).

Величина m_{S 1} находится из решения квадратного уравнения: . Корень уравнения =563,084 кНм – математическое ожидание обобщенной прочности при b=3,0. Стандарт кНм. Тогда m_{S 1}=563,084–397,5= =165,584 кНм.

Построим законы распределения p ₁(R) и p (F) по имеющимся характеристикам m_F, m_R1, , (рис. 12). Кривые распределения пересекаются в точке О, соответствующей несущей способности сечения R ₀ и обобщенной нагрузке F ₀: F ₀= R ₀=500 кНм. Точка пересечения О отстоит от соответствующих центров распределения на n_R и n_F стандартов:

 

 

Рис. 11. Плотность вероятностей резерва прочности при уровне безопасности:

β=6,56 – p(S); β=3,0 – p(S₁)

 

Рис. 12. Определение расчётных значений обобщённой прочности R и обобщённой нагрузки F при уровне безопасности β=3,0

 

.

Что соответствует обеспеченности P (R ₁ >R ₀)= Ф* (n_R)=0,9953.

,

Что соответствует обеспеченности P (F<F ₀)= Ф* (n_F)=0,9846.

Хотя обеспеченность каждого из параметров R ₁ и F меньше 0,9987, но отказ сечения в целом происходит только при одновременном выполнении двух событий:

А – прочность равна R ₀, а нагрузка больше F ₀;

Б – нагрузка равна F ₀, а прочность меньше R ₀.

Вероятность совместного выполнения событий А и Б равна заданному уровню риска V =1–0,9987=0,0013. Таким образом, приняв за расчетное значение прочности предельный момент M=R₀, или за расчетное значение момента в сечении от действующей нагрузки M*=F₀, можно запроектировать сечение с меньшим расходом материала, а, следовательно, меньшей стоимости, при обеспечении достаточного уровня надежности.

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ………………………………………………..
I.1. Случайные величины………………………………………………
I.2. Статистический ряд распределения. Гистограмма………………
I.3. Числовые (статистические) характеристики случайных величин
I.4. Некоторые законы распределения случайных величин…………
I.5. Статистический характер прочности……………………………..
ПРИМЕР 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЧНОСТИ БЕТОНА……………..……………………………………...
II. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН……………………………….
II.1. Методы вероятностных расчетов строительных конструкций…
ПРИМЕР 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОМТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ БАЛКИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ…………………………………………………………..
III. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА БЕЗОПАСНОСТЬ……………………
ПРИМЕР 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК БЕЗОПАСНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО СЕЧЕНИЯ……………………………………….
ПРИМЕР 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЁТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАГРУЗКИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ЗАДАН-НОМ УРОВНЕ БЕЗОПАСНОСТИ………….……………………………..
ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………
СОДЕРЖАНИЕ……………………………………………………………

 

 

Учебное издание