Е —1
§ 11. Полная свободная энергия диэлектрического тела
Полная свободная энергия ¥ (или полная внутренняя энергия 41), как она была определена в предыдущем параграфе, включает в себя также и энергию внешнего электрического поля, поляризующего диэлектрик; это поле можно представлять себе как создаваемое определенной совокупностью проводников с заданными полными зарядами на них. Наряду с этой величиной ¥ имеет смысл рассмотреть полную свободную энергию, из которой исключена энергия поля, которое существовало бы во всем пространстве в отсутствие тела. Обозначим напряженность последнего посредством (В. Тогда «полная» в указанном смысле свободная энергия равна интегралу
(ИЛ)
где F— плотность свободной энергии. Мы будем здесь обозначать эту величину той же буквой ¥, которой в § 10 обозначался
интеграл ] F dV. Следует подчеркнуть, что разница между обоими определениями ¥ сводится к величине, не зависящей от термодинамического состояния и свойств диэлектрика, и потому вообще не отражается на основных термодинамических дифференциальных соотношениях, которые имеют место для этой величины1).
Вычислим изменение ¥ в результате бесконечно малого изменения поля, происходящего при постоянной температуре и без нарушения термодинамического равновесия среды.
J) Отметим, что вычитать из F величину £2/8л не имело бы смысла, так как Е есть поле, уже измененное присутствием диэлектрика, и потому разность F — (£2/8я) отнюдь нельзя было бы рассматривать как плотность свободной энергии диэлектрика как такового.
Поскольку 6/=' = -^-E6D, то имеем
б,Г = A- J (Е 6D — в б®) dV.
Это выражение можно тождественно переписать в виде
61=iI<D-6->бс?^+iIЕ<6D-6с')dv-iI(°-Е)шdv-
(11,2)
В первом интеграле пишем 6с* =— §гас!бф0 (ф0 — потенциал поля Щ и преобразуем его по частям:
J grad бФо (D—Щ dV = J бФо (d—<g) df — J бФо div (d—в) dV.
Легко видеть, что оба интеграла в правой части равенства обращаются в нуль. Для объемного интеграла это следует непосредственно из уравнений divD = 0 и div© = 0, которым удовлетворяют соответственно поле в диэлектрике и поле в пустоте. Первый же интеграл берется по поверхности создающих поле проводников и по бесконечно удаленной поверхности. Последний интеграл обращается, как обычно, в нуль, а на каждом из проводников бф0 = const, так что
<£бФо (D — ®)df = бф0^ (D—G) df.
Но поле (€•, по определению, создается теми же источниками, что и поле Е с индукцией D (т. е. одними и теми же проводниками с заданными полными зарядами е на них). Поэтому оба
интеграла &Dndf и (f)($:ndf равны одной и той же величине 4яе, а их разность равна нулю.
Аналогичным образом убеждаемся в том, что равен нулю и второй член в (11,2) (для этого подставляем в нем Е =■= — grad ф и производим такое же преобразование). Окончательно получается
бг ==_ j_J(d—E)6edK=—jp6edv. (П,3)
Замечательно, что в этом выражении интеграл берется только по объему, занятому диэлектрической средой, так как вне тела Р = 0.
Подчеркнем, однако, что подынтегральное выражение Р6© не может быть истолковано как вариация «плотности» свободной энергии тела, подобно тому, как это было сделано в связи с формулами (10,3), (10,4). Прежде всего, эта «плотность» должна существовать и вне тела, так как его наличие искажает поле и в окружающем пространстве. Ясно также, что плотность энергии в каждой точке тела может зависеть лишь от реально су-
шествующего в ней поля, а не от поля, которое имелось бы здесь в отсутствие тела.
Если внешнее поле @ однородно, то
6<F = -6e-$Pdi/= — ^»бе, (11,4)
где —полный электрический дипольный момент тела. Поэтому термодинамическое тождество для свободной энергии можно написать в данном случае как
d¥ = — <ydT — <p>d®. (11,5)
Полный электрический момент тела можно, следовательно, получить путем дифференцирования полной свободной энергии:
Отметим, что последнюю формулу можно получить и непосредственно из общей статистической формулы
дХ \ дк ] т '
где Ж—-гамильтониан тела как системы составляющих его частиц, а "к — какой-либо параметр, характеризующий внешние условия, в которых находится тело (см. V (11,4), (15,11)). Для тела, находящегося во внешнем однородном поле О?, гамильтониан содержит член —где — оператор дипольного момента, и, выбрав 05 в качестве параметра К, мы получим искомую формулу.
Если D и Е связаны друг с другом линейной зависимостью D = eE, то аналогичным путем можно вычислить в явном виде не только вариацию 6<F, но и саму <F. Имеем
Это выражение тождественно переписываем в виде.
=i1<Е+е)<D-®)dy—кI ®(°~Е)м.
Первый член в правой части равенства обращается в нуль, в чем можно убедиться, положив в нем E-f-0? =— grad (ср + ф0) и произведя преобразование, вполне аналогичное произведенному выше. Поэтому получаем
F-f0(V, T) = -\^WdV. (11,7)
В частности, в однородном внешнем поле
f-f0(l/, Т) = -Ч&&. (11,8)
Последнее равенство можно было бы получить и путем непосредственного интегрирования соотношения (11,3), если заметить, что в силу линейности всех уравнений поля (при D = eE) электрический момент должен быть линейной функцией ©.
Линейную зависимость между компонентами и можно написать в виде
*/ = V«,*®*, (11,9)
подобно тому, как это было сделано нами для проводников (§ 2). В отличие от проводников, однако, «поляризуемость» диэлектрического тела зависит не только от его формы, но и от его диэлектрической постоянной. Симметричность тензора <xik (упомянутая уже в § 2) непосредственно следует из соотношения (11,6); достаточно заметить, что вторая производная
д2<Г ЗУ/
не зависит от порядка дифференцирования.
Формула (11,7) еще более упрощается в важном случае, когда е близко к 1, т. е. диэлектрическая восприимчивость х = (е—1)/4л мала. В этом случае при вычислении энергии можно пренебречь вызываемым наличием тела искажением поля, т. е. положить
Р = хЕ л? х©.
Тогда
IF— <F0= —- у J(S2dV, (11,10)
где интеграл берется по объему тела. В однородном поле диполь-ный момент t^, = Vx6-, а свободная энергия
f-f0 = -^g2. (11,11)
В общем случае произвольной зависимости D от Е простые формулы (11,7) и (11,8) не имеют места. Для вычисления W здесь может быть полезной формула
8л 2 |
^=KF-i£)dv==S[F-^-im
dV, (11,12)
вывод которой после произведенных выше вычислении очевиден. Действительно, подынтегральные выражения в обоих интегралах отличаются на величину
ed е2 1 /г.,„ >.
—ST-------- Г+8л-=-&т-(°-е)(Е+^'
после подстановки Е = — V<P, © =— V<P0 и интегрирования по всему пространству это выражение обращается в нуль. Обратим внимание на то, что в (11,12) (как и в (11,7)) подынтегральное выражение (во втором интеграле) обращается в нуль вне тела (где Р = 0, F = £2/8л), так что интегрирование производится только по его объему.
Задача
Получить формулу, заменяющую (11,7), для тела, находящегося не в пустоте, а в среде с диэлектрической проницаемостью в(<?>.
Решение. Повторяя для этого случая произведенные в тексте преобразования, получим
¥ ~¥о = - J6-(D-e«)E) dV.
§12. Электрострикция изотропных диэлектриков
Для твердого диэлектрика в электрическом поле нельзя ввести понятие давления так, как это делается для изотропного тела в отсутствие поля, потому что действующие в таком диэлектрике силы (они будут определены в §§ 15, 16) меняются вдоль тела и анизотропны, даже если тело само по себе изотропно. Точное определение деформации (электрострикции) такого тела требует решения сложной задачи теории упругости.
Дело обстоит, однако, гораздо проще, если нас интересует только изменение полного объема тела. Как уже было указано в § 5, при этом можно считать форму тела неизменной, т. е. рассматривать деформацию как равномерное всестороннее сжатие или растяжение.
Будем пренебрегать диэлектрическими свойствами внешней среды (например, атмосферы), в которой находится рассматриваемое тело, т. е. будем считать, что ее е=1. Роль среды сводится только к созданию равномерного давления, действующего на поверхность тела. Именно это внешнее давление мы будем обозначать ниже посредством Р. Если ¥ — полная свободная энергия тела, то согласно известному термодинамическому соотношению
и соответственно в выражении для дифференциала d¥ должен быть добавлен член —PdV- Так, в однородном внешнем поле имеем вместо (11,5)
d¥ = — dT - Р dV - & №.
Введем полный термодинамический потенциал тела согласно обычному термодинамическому определению:
Ф = ¥ + PV.
(12,1)
Для дифференциала этой величины (в однородном внешнем поле) имеем соотношение
с1ф = — ^ dT + VdP-tfbdV. (12,2)
Изменение термодинамических величин во внешнем электрическом поле является обычно относительно малой величиной. Согласно теореме о малых добавках (см. V (15,12)), малое изменение свободной энергии (при заданных Т и V) и малое изменение термодинамического потенциала (при заданных Т и Р) равны друг другу. Поэтому наряду с (11,8) можно написать аналогичное соотношение
Ф = Ф0-1/&&> (12,3)
для термодинамического потенциала тела во внешнем однородном поле. Здесь gb„ относится к телу в отсутствие поля при заданных значениях Р, Т (в то время как 3~0 в (11,8) есть свободная энергия тела в отсутствие поля при заданных значениях V и Т).
Выразив в явном виде зависимость дипольного момента от V и & согласно (11,9), перепишем (12,3) в виде
Ф = Ф9(Р, Т)-ЧУ*1к%%, (12,4)
причем поправочный член должен быть выражен в функции от температуры и давления согласно уравнению состояния тела в отсутствие поля. Эта формула особенно упрощается в случае малой диэлектрической, восприимчивости вещества:
ф = ф0(Р, Т)-^-& (12,5)
(ср. (11,11)).
Искомое изменение объема V — V0 во внешнем поле можно получить теперь непосредственно путем дифференцирования Ф по давлению (при постоянных Т и ©). Так, из (12,5) найдем
Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (в противоположность электрострикции проводников, объем которых в поле всегда возрастает).
Аналогичным образом можно вычислить также и количество тепла Q, поглощаемое в диэлектрике при изотермическом включении внешнего электрического поля (причем внешнее давление поддерживается постоянным)J).
-1) Если же тело теплоизолировано, то наложение поля приведет к изменению температуры, равному ДГ = —Q:1$p, где %р—теплоемкость тела при постоянном давлении,
Дифференцирование Ф — Ф0 по температуре даст изменение энтропии тела, а умножив его на Т, получим искомое количество тепла. Так, из (12,5) получается
(12,7)
Положительные значения Q соответствуют поглощению тепла.
3 а д а ч и
1. Определить изменение объема и электрокалорический эффект для диэлектрического эллипсоида в однородном электрическом поле, параллельном одной из его осей.
Решение. Согласно формулам (12,3) и (8,10) имеем
8л ПЕ + 1 -
V |
8л |
Для изменения объема находим г): У-Уп (J2 Г е-1
(пе+1— п) К (пе+1—п)2
—) 1 дР)т\ '
а для электрокалорического эффекта:
-я)2 |
8л |
Q =
ne + 1 — п (яе+:
dV_ дТ Jp |
-коэффициент сжимаемости тела, а ос = |
где т= — |
V I дР)т~ коэффициент теплового расширения.
В частности, для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле п — \, так что
-1 |
гК |
iZp_=JL2
ТУФ? 8л. |
8л
а(е —1). 1
дг дР дг дТ
Для такой же пластинки (или любого цилиндрического тела) в продольном поле п = 0 и
' 8л
Q =
Г№2
8л
i а(е —1)
дТ
■]■
1) Положив е—>-оо, получим для изменения объема проводящего эплип- соида (V — V0)/V = Й2/8лЛ>. Для шара п = 1/3 и мы возвращаемся к резуль. тату задачи 4 § 5. 2) является теплоемкостью пластинки, помещенной между обкладками плоского конденсатора, включенного в цепь с постоянной э. д. с. В разомкну- том же конденсаторе с постоянными зарядами на обкладках пластинка будет иметь теплоемкость |
2. Определить разность теплоемкости??<p плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле при постоянной разности потенциалов между ее сторонами и теплоемкости при постоянной индукции; в обоих случаях внешнее давление поддерживается постоянным2).
Решение. Согласно результатам задачи 1 энтропия пластинки
Индукция поля внутри пластинки совпадает с внешним полем: D = G. Поэтому для вычисления теплоемкости надо дифференцировать <ff при постоянном <$,. Разность потенциалов между сторонами пластинки ф = £/=(у//е, где /—толщина пластинки. При равномерном сжатии или расширении тела / меняется пропорционально V1^3. Поэтому для вычисления теплоемкости ^ф надо
дифференцировать Qf при постоянном произведении (JK^Ve. В результате найдем для искомой разности:
3. Определить электрокалорический эффект в однородном диэлектрике,
полный объем которого поддерживается постоянным.
Решение. Строго говоря, при наложении внешнего поля плотность тела меняется (становясь неоднородной вдоль тела), даже если его полный объем поддерживается постоянным. Однако при вычислении изменения полной энтропии этим обстоятельством можно пренебречь и считать плотность р постоянной в каждой точке тела ').
Согласно (10,18) полная энтропия тела
где интегрирование распространяется по объему тела. Поглощаемое количество тепла
4. Определить разность — ^D (см. задачу 2) при постоянном полном
объеме пластинки.
Решение. При неизменном объеме (а потому и толщине) пластинки дифференцирование при постоянной разности потенциалов эквивалентно дифференцированию при постоянной напряженности Е.
С помощью полученной в задаче 3 формулы для энтропии находим
_ TVE* (дг у_ TV& (дг у
5. Конденсатор состоит из двух проводящих поверхностей, находящихся
на расстоянии h друг от друга, малом по сравнению с размерами обкладок;
пространство между обкладками заполнено веществом с диэлектрической про-
ницаемостью ех. В конденсатор вводится шарик радиуса n^ftc диэлектриче-
ской проницаемостью е2. Определить изменение емкости конденсатора.
Решение. Пусть шарик вводится в конденсатор так, что разность потенциалов ф между его обкладками остается неизменной. Роль свободной энергии при постоянных потенциалах проводников играет Jp'. В отсутствие шарика jF = —С(|ф2;2, где С0 — первоначальная емкость конденсатора. Ввиду
') Изменение плотности бр — величина второго порядка по полю (—£2), а связанное с ним изменение полной энтропии—четвертого порядка. Действи-
dS С
тельно, линейное по бр изменение полной энтропии есть J SpdV, ио интеграл \ bpdV = 0 в силу неизменности общей массы тела.
малых размеров шарика можно считать, что он вводится в однородное поле с напряженностью ® = ф//г, а изменение мало. Малое изменение при постоянных потенциалах равно малому изменению при постоянных зарядах источников поля. С помощью формулы, полученной в задаче § 11, и формулы (8,2) находим
# "~ 2 Lo<P 2n2 26l + g2 ' откуда искомая емкость
г_г, а3 Мег — б]) с-с<Н"р 2б1 + е2 ■
§ 13. Диэлектрические свойства кристаллов
В анизотропной диэлектрической среде (монокристалл) линейная связь между индукцией и напряженностью электрического поля имеет более сложный вид, не сводящийся к простой пропорциональности.
Наиболее общий вид такой зависимости дается выражением
+(13,1)
где D„—постоянный вектор, а совокупность величин e!k составляет тензор второго ранга—тензор диэлектрической проницаемости (или, короче, диэлектрический тензор). Свободный член D0 в соотношении (13,1) существует, однако, не во всяком кристалле. Большинство типов кристаллографической симметрии не допускает существования постоянного вектора (см. ниже), и тогда имеем просто,
Dt = &tkEk. (13,2)
Тензор zik симметричен:
£ik==eki- (13,3)
Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться термодинамическим соотношением (10,10) и заметить, что вторая производная
д*РдР;
™dEkdE; - dEk ~£ik
не зависит от порядка дифференцирования.
Для самой величины F имеем (при выполнении (13,2)) выражение
Р = ро-^§Г*' (13'4)
Свободная энергия F равна
Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор eik путем надлежащего выбора осей координат может быть приведен к диагональному виду. В общем случае, следовательно, тензор Eik определяется тремя независимыми величинами—тремя главными значениями е(1), е(2), е(3). Все эти величины всегда больше единицы, подобно тому как е > 1 у изотропного тела (см. § 14).
В зависимости от той или иной симметрии кристалла число различных главных значений тензора eik может оказаться и меньшим трех.
В кристаллах триклинной, моноклинной и ромбической систем все три главных значения различны; эти кристаллы называются двухосными1). При этом в кристаллах триклинной системы направления главных осей тензора г1к не связаны однозначным образом с какими-либо кристаллографическими направлениями. В кристаллах моноклинной системы заранее определенным является направление одной из главных осей—она должна совпадать с осью симметрии второго порядка или быть перпендикулярной к плоскости симметрии кристалла. В кристаллах же ромбической системы кристаллографически определены все три главные оси тензора eik.
Далее, в кристаллах тетрагональной, ромбоэдрической и гексагональной систем два из трех главных значений совпадают, так что имеются всего две независимые величины; такие кристаллы называют одноосными. Одна из главных осей совпадает при этом с кристаллографической осью симметрии четвертого, третьего или шестого порядка, а направление двух других главных осей можно выбрать произвольным образом.
Наконец, в кристаллах кубической системы все три главных значения тензора eik одинаковы, а направления главных осей произвольны. Это значит, что тензор г(к имеет вид гЬ1к, т. е. определяется одним скаляром е. Другими словами, в отношении своих диэлектрических свойств кристаллы кубической симметрии не отличаются от изотропных тел.
Все эти довольно очевидные свойства симметрии тензора &ik становятся особенно наглядными, если воспользоваться известным из тензорной алгебры понятием тензорного эллипсоида, длина полуосей которого пропорциональна главным значениям симметричного тензора второго ранга. Симметрия эллипсоида должна соответствовать при этом симметрии кристалла. Так, в одноосном кристалле тензорный эллипсоид вырождается в эллипсоид вращения, полностью симметричный относительно продольной оси; подчеркнем, что для физических свойств кристалла, определяющихся симметричным тензором второго ранга, наличие оси симметрии уже третьего порядка эквивалентно полной изотро-
г) Это название связано с оптическими свойствами кристаллов —см. §§ 98, 99.
пии в плоскости, перпендикулярной к этой оси. В кристаллах кубической симметрии тензорный эллипсоид вырождается в сферу.
Остановимся теперь на особенностях диэлектрических свойств кристаллов с постоянным членом D0 в (13,1). Наличие этого члена означает, что диэлектрик спонтанно поляризован и в отсутствие внешнего электрического поля; такие тела называют пироэлектрическими. Величина этой спонтанной поляризации, однако, фактически всегда очень мала (по сравнению с молекулярными полями). Это обстоятельство связано с тем, что большие значения D„ приводили бы к существованию сильных полей внутри тела, что энергетически весьма невыгодно и потому не могло бы соответствовать термодинамическому равновесию. Малость D0 обеспечивает в то же время законность разложения D по степеням Е, первыми двумя членами которого и является выражение (13,1).
Термодинамические величины пироэлектрического тела находим, интегрируя соотношение
dF
откуда
^^-^-^А- (13'6)
Свободная энергия
F = F + = F° + = F° + s^ (Di-Doi) (Dk-Dok).
(13,7)
Отметим, что из F выпадает имевшийся в F член, линейный по
Полную свободную энергию пироэлектрика можно вычислить по формуле (11,12), подставив в нее (13,7) и (13,1). В отсутствие внешнего поля, С* = 0, получается простой результат:
r= l(F»—(13.8)
Отметим, что свободная энергия пироэлектрика в отсутствие внешнего поля зависит (вместе с полем Е) не только от его объема, но и от формы.
Как уже было указано, явление пироэлектричества возможно не при всякой симметрии кристалла. Поскольку при любом преобразовании симметрии все свойства кристалла должны оставать-
J) Следует отметить, что в этих формулах мы в действительности пренебрегаем пьезоэффектом (т. е. влиянием внутренних напряжений на электрические свойства тела, см. § 17). Поэтому они, строго говоря, применимы лишь в случае однородных по объему тела полей, когда напряжения в теле могут отсутствовать.
ся неизменными, то ясно, что пироэлектрическим может быть лишь такой кристалл, в котором существует направление, остающееся неизменным (в том числе не меняющееся на обратное) при всех преобразованиях симметрии; в этом направлении и будет лежать постоянный вектор d0.
Этому условию удовлетворяют лишь те группы симметрии, которые складываются из одной оси и проходящих через нее плоскостей симметрии. В частности, пироэлектрическими заведомо не могут быть кристаллы, обладающие центром симметрии. Перечислим те из 32-х кристаллических классов, в которых существует пироэлектричество:
триклинная система: с,,
моноклинная система: Cs, с»,
ромбическая система: C2v,
тетрагональная система: с4, Civ,
ромбоэдрическая система: Cs, C3v,
гексагональная система: с6, C6v. Среди'кубических классов пироэлектрических, разумеется, вообще нет. В кристалле класса С1 направление пироэлектрического вектора d0 не связано с каким-либо кристаллографически выделенным направлением, а в кристалле класса Cs должно лежать в плоскости симметрии. Во всех же остальных из перечисленных выше классов направление d0 совпадает с направлением оси симметрии *).
*) Говоря об условиях симметрии, мы рассматриваем кристаллическую среду как неограниченную. Для конечного кристалла точное значение его полного дипольного момента может зависеть (в ионном кристалле) от того, по каким кристаллическим плоскостям проходят его грани—содержат ли эти плоскости ионы одного знака или же они электрически нейтральны. Но в рамках макроскопической электродинамики, подразумевающей усреднение по физически бесконечно малым объемам, естественно понимать как усредненное также и положение граней относительно кристаллической решетки. В результате такого усреднения значение D0 окажется равным нулю в любом непироэлектрическом конечном кристалле и не зависящим от огранки — в пироэлектрическом. |
Следует указать, что в обычных условиях пироэлектрические кристаллы не имеют полного электрического дипольного момента, хотя поляризация в них и не равна нулю. Дело в том, что внутри спонтанно поляризованного диэлектрика имеется отличная от нуля напряженность поля Е. Благодаря тому, что фактически образец обычно обладает некоторой, хотя и малой, но все же не равной нулю проводимостью, наличие поля вызовет появление тока, который будет течь до тех пор, пока образующиеся на поверхности тела свободные заряды не приведут к исчезновению поля в образце. В том же направлении действуют ионы, оседающие на поверхность образца из воздуха. На опыте пироэлектрические свойства наблюдаются при нагревании тела, когда величина его спонтанной поляризации меняется и обнаруживается это изменение.
Задачи
1. Определить поле, создаваемое в пустоте пироэлектрическим шаром.
Решение. Внутри шара имеется однородное поле, в котором напряженность и индукция связаны соотношением 2Е =—D (как это следует из (8,1) при ($ = 0, т. е. в отсутствие внешнего приложенного поля). Подставляя в (13,1), получим уравнение 2£, + e,'^£fe = — Doi. Выберем оси координат вдоль главных осей тензора ъ1к. Тогда найдем из этого уравнения
Р = Dpi. Di-Ej _ 3D0i
' 2-fe«'>' 1 4я 4л(2 + е<'>) "
Поле вне шара есть поле электрического диполя с электрическим моментом <p = PV.
2. Определить поле точечного заряда в однородной анизотропной среде х).
Решение. Поле точечного заряда описывается уравнением div D=4ne б (г) (заряд находится в начале координат). В анизотропной среде D,' = e,-^Efe = = — е,-£ dip/дхь; выбирая оси х, у, г вдоль главных осей тензора е,-^, получим для потенциала уравнение
дх1- 1 ду- 1 дг2 w
Путем введения новых переменных согласно
* = *' У~е№, у = у' yeW\ z = z' Уё& (1)
оно приводится к виду
Д ф= гб (г),
У е<*>е<.У>е<г>
который формально отличается от уравнения для поля в пустоте лишь заменой е на е' =е [e<x)eWe<z>]~'/2. Поэтому
7»
е
_1_ У _1_
е<*> ' eW ' е<г>
В тензорных обозначениях, не предрешающих выбор системы координат,
е
ф=
е | eik xlxh
где |е| — определитель тензора е,-£.
3. Определить емкость проводящего шара (радиуса а), погруженного в анизотропную диэлектрическую среду.
Решение. Путем преобразования (1) определение поля шара с зарядом е в анизотропной среде сводится к определению поля в пустоте, создаваемого зарядом е', распределенным по поверхности эллипсоида
eikx'ixk = е<*>*'2 + еО"г/'2-f e<«z'2 = а2.
Воспользовавшись формулой (4,14) для потенциала поля эллипсоида, получим для искомой емкости:
7.
e(.v) / V eW 1 V 1 е<г>
г) В задачах 2 — 6 диэлектрическая анизотропная среда предполагается непнроэлектрической.
4. Определить поле в плоскопараллельной анизотропной пластинке, нахо-
дящейся во внешнем однородном поле
Решение. Из условия непрерывности касательной составляющей напряженности следует, что
Е = @ + An,
где Е — напряженность однородного поля внутри пластинки, п —единичный вектор нормали к ее поверхности и А — постоянная. Последняя определяется из условия непрерывности нормальной компоненты индукции: nD = n(S; или
nflikEk = ЩЦк&к + Аг1кщпк = ® {щ.
Отсюда
Ё1тп1пт
В частности, если внешнее поле направлено по нормали к пластинке (ось г), то
Д=е(1-е„)/е„. Если поле параллельно пластинке и направлено по оси х:
А = —©егд:/егг.
5. Определить момент сил, действующих на анизотропный диэлектрический
шар, находящийся (в пустоте) во внешнем однородном поле (v.
Решение. Согласно (8,2) имеем для напряженности поля внутри шара
Е 5_ К
A'~2+e(*>U*
(и аналогично для Еу, Е2), причем оси х, у, г выбраны вдоль главных осей тензора е,^. Отсюда для компонент дипольного момента шара (радиуса а)
т 4л _„ е<*> — 1.,гг ^ = _азр,= __азс5,.
Компонента же действующего на шар момента сил
и аналогично для Кх, Ку-
6. В неограниченной анизотропной среде имеется сферическая полость.
Выразить поле в полости через однородное поле £(е> в среде вдали от полости.
Решение. Преобразованием (1) задачи 2 уравнение для потенциала поля в среде приводится к уравнению Лапласа для поля в пустоте. Уравнение же для потенциала поля в полости, напротив, превращается в уравнение для потенциала в среде с диэлектрическими проницаемостями 1/е<*>, 1/еО", 1/е(г>. Кроме того, шар (радиуса а) превращается в эллипсоид с полуосями а/}/"е<*>, a/]AeW, а/Уг^К Пусть ге<*>, п{У\ п*г> — коэффициенты деполяризации такого эллипсоида (определяемые по формулам (4,25)). Применяя к полю этого эллипсоида формулу (8,7), получим соотношение
1г, д<р<'> п'*> дф('">_ dcp(g) ( П ' дх' ■ е<*> дх' ~~ дх' (и аналогичные—вдоль осей у' и г'). Возвращаясь к прежним координатам, имеем
так что для поля в полости получаем окончательно
с(«) е(х) с<е)
е(Л) —n(X) (g(X) _l)
§ 14. Положительность диэлектрической восприимчивости
Для выяснения характера зависимости термодинамических величин диэлектрика в поле от его диэлектрической проницаемости рассмотрим формальную задачу об изменении электрической части полной свободной энергии тела при бесконечно малом изменении е.
Для изотропного (но не обязательно однородного) диэлектрика имеем согласно (10,20)
При изменении е изменяется также и индукция поля. Поэтому рассматриваемая вариация свободной энергии равна
Первый член в правой части равенства совпадает с выражением (10,2) для работы, совершаемой при бесконечно малом изменении источников поля (зарядов проводников). Но в данном случае мы рассматриваем изменение поля при неизменных его источниках; поэтому этот член обращается в нуль, и мы получаем
6^=-J^8>= 46e-I>-
(Н,1)
Из этой формулы следует, что всякое увеличение диэлектрической проницаемости среды хотя бы в некотором ее участке (при неизменных источниках поля), приводит к уменьшению ее полной свободной энергии. В частности, можно утверждать, что свободная энергия всегда уменьшается при внесении в диэлектрическую среду незаряженных проводников, поскольку последние могут рассматриваться (в электростатике) как тела с бесконечно большой е. Это утверждение обобщает высказанную в § 2 теорему об уменьшении энергии электростатического поля в пустоте при внесении в него незаряженного проводника.
Полная свободная энергия уменьшается и когда какой-либо заряд подносится к диэлектрическому телу из бесконечности (что можно воспринимать как увеличение е в некотором объеме поля вокруг заряда). Чтобы сделать отсюда заключение о том, что всякий заряд притягивается к диэлектрику, надо было бы, строго говоря, доказать еще, что ¥ не может достигнуть минимума ни при каком конечном расстоянии между зарядом и телом. Мы не станем останавливаться здесь на доказательстве этого утверждения, тем более, что появление сил притяжения между зарядом и диэлектриком можно рассматривать как довольно очевидный результат взаимодействия этого заряда с дипольным моментом поляризуемого им диэлектрика.
Непосредственно из формулы (14,1) можно сделать заключение о направлении движения диэлектрического тела в квазиоднородном поле, т. е. в поле, которое можно считать постоянным на протяжении размеров тела. В этом случае Е2 выносится из-под знака интеграла и разность ¥ — ¥в есть отрицательная величина, пропорциональная Е2. Стремясь занять положение, в котором его свободная энергия минимальна, тело будет, следовательно, перемещаться в направлении увеличения Е.
Независимо от формулы (14,1) можно показать, что полное изменение свободной энергии диэлектрического тела при внесении его в электрическое поле отрицательно1). Это можно сделать с помощью термодинамической теории возмущений, рассматривая изменение свободной энергии тела как результат возмущения его квантовых уровней энергии внешним электрическим полем. Согласно этой теории имеем
ЩГ__-г _j7____ 1 у у' I Vnm \2(Wm — W„) \_[V _y.„
n m n in
(14,2)
(см. V (32,6)). Здесь E^ — невозмущенные уровни, Утп—матричные элементы возмущающей энергии, а черта обозначает статистическое усреднение с помощью распределения Гиббса
Член V'пп в формуле (14,2), линейный по полю, отличен от нуля только в пироэлектрических средах. Интересующее же нас квадратичное по полю изменение свободной энергии дается остальными членами этой формулы; их отрицательность очевидна.
С другой стороны, из самого вывода формулы (14,2) ясно, что полная свободная энергия ¥ должна пониматься в ней в указанном в § 11 смысле—из нее исключена энергия поля, которое существовало бы в отсутствие тела. Поэтому разность ¥ — ¥0 дается термодинамической формулой (11,7). Рассмотрим тело в виде длинного цилиндра, расположенного вдоль однородного внешнего поля ©. Тогда поле внутри цилиндра совпадает сб, а его поляризация Р = (е—1)($/4я, так что
*) Имеется в виду изменение, пропорциональное квадрату поля. Напомним, что в пироэлектрических телах изменение свободной энергии содержит также и линейный по полю член, который нас здесь не интересует. |
Отсюда следует, что разность ¥—¥в будет отрицательна, только если е> 1. Мы приходим к упомянутому в § 7 и использованному уже ранее утверждению, что диэлектрическая проницаемость
всякого тела больше единицы, т. е. его диэлектрическая восприимчивость х=(е—1)/4я положительна.
Таким же образом доказываются неравенства е{П > 1 для главных значений тензора eik анизотропной диэлектрической среды. Для этого достаточно рассмотреть энергию поля, направленного вдоль каждой из трех главных осей.
§ 15. Электрические силы в жидком диэлектрике
Вопрос о вычислении сил (их называют пондеромоторными), действующих на диэлектрик в произвольном неоднородном электрическом поле, довольно сложен и требует раздельного рассмотрения для жидких (или газообразных) и твердых тел. Мы начнем с более простого случая жидких диэлектриков.
Будем обозначать посредством f dV силу, действующую на элемент объема среды dV, вектор f можнъ назвать объемной плотностью сил.
Как известно, силы, действующие на какой-либо конечный объем тела, могут быть сведены к силам, приложенным к поверхности этого объема (см. VII § 2). Это обстоятельство является следствием закона сохранения импульса. Сила, действующая на вещество в объеме dV, представляет собой изменение его импульса в единицу времени. Это изменение должно быть равно количеству импульса, втекающего в течение того же времени в этот объем через его поверхность. Если обозначить тензор потока импульса через —aik, то
(15,1)
где интегрирование в правой части равенства производится по поверхности объема V. Тензор a;k называют тензором напряжений. Очевидно, что
Gikdfk = e;knkdf
есть 1-я компонента силы, действующей на элемент поверхности df (п—единичный вектор нормали к поверхности, внешней по отношению к данному объему).
Аналогичным образом сводится к интегралу по поверхности также и полный момент сил, действующих на данный объем, чем обеспечивается выполнение закона сохранения момента импульса. Как известно, возможность этого сведения связана с симметричностью тензора напряжений (oik = aki); последняя является, таким образом, выражением закона сохранения момента импульса.
Преобразуя интеграл по поверхности в (15,1) в интеграл по объему, получим
и отсюда, ввиду произвольности объема интегрирований,
Это — известная формула, выражающая объемные силы через тензор напряжений.
Приступим теперь К вычислению тензора напряжений. Каждый малый участок поверхности можно рассматривать как плб-ёкйй; а тело и электрическое поле вблизи него—как однородные. Поэтому для упрющения вывода мы можеМ) без всякого ограничения общности, рассмотреть однородный (пО составу, плотности и температуре) плоскЬпараллельньш слой вещества (толщины h), находящийся в однородном электрическом поле1). Это поле можно представлять себе как создаваемое приложенными к поверхности слоя проводящими плоскостями (обкладками конденсатора).
Следуя общему методу определения сил, подвергнем оДну из обкладок («верхнюю») параллельному виртуальному смещению на бесконечно малую величину |; направление 1 произвольно и не обязательно Совпадает с направлением нормали п. Будем считать, что потенциал проводника (в каждой его точке) остается при смещений неизменным, а вызываемая этим смещением однородная деформация слоя диэлектрика — изотермична.
На единицу площади поверхности действует со стороны самого тела (слоя) сила —oiknk. При виртуальном смещений эта сила производит работу —cr(-fenfe£,-. С Другой стороны, работа( прбиз-водимая при изотермической деформации и постоянных потенциалах проводников, равна убыли величины \FdV или (на единицу площади поверхности слоя) величины hF. Таким образом,
eik$ink = 8(hF) = h8F + F6h. (15,3)
Термодинамические величины жидкости зависят (при данных температуре и напряженности поля) только от ее плотности; деформации, не меняющие плотности' (деформации сдвига), не отражаются на термодинамическом состоянии. Поэтому для изотермической вариации 8F в жидкости пишем
tf-(#)r..«+(#)..,*—^+(1)..,*-см)
*) Тем самым мы отбрасываем в тензоре напряжений члены, которые могли бы зависеть от градиентов температуры, поля и т. п. Эти члены, однако, исче-зающе малы по сравнению с членами, не содержащими производных, в том же смысле, как малы члены с производными, которые могли бы присутствовать в зависимости D от Е. |
Изменение плотности слоя вещества связано с изменением его толщины соотношением бр = — p8h/h. Вариация же поля вычисляется следующим образом.
В данную точку пространства (с радиус-вектором г) попадает при смещении вещество из точки г — и, где и — вектор смещения частиц в объеме слоя. Поскольку в рассматриваемых условиях (однородная деформация и постоянство потенциала на обкладках) каждая частица вещества перемещается вместе со своим значением потенциала, то изменение последнего в данной точке про^ странства есть
бф = ср (г—и) — ф (г) = — и?ф = иЕ,
где Е — однородное поле внутри недеформированного слоя. Но ввиду однородности деформации имеем
и = |1, (15,5)
где z— расстояние от нижней поверхности. Поэтому вариация напряженности поля
6E = -in(El). (15,6)
Подставляя все полученные выражения в (15,4) и учитывая также, что bh = \z = \n, получим
oikhnk = ± (nD) (IE)-(in) рU+ (in) F =
\ 4л
Отсюда окончательно находим следующее выражение для Тензора напряжений:
0,-ъ =
Р^ др /е, г
в,* + ^Г*. (15,7)
В изотропных средах, которые здесь и рассматриваются, направления Е и D совпадают. Поэтому EiDk = EkD[ и тензор (15,7), как и должно быть, симметричен '). При линейной связи D = eE имеем
F=F0(p,T)-e-g (15,8)
(см. (10,17)); F0 есть свободная энергия единицы объема вещества в отсутствие поля. Согласно известному термодинамическому соотношению, производная от свободной энергии 1 г вещества по удельному объему есть давление:
flFf) -'•-■>(£),--'*
х) Тот факт, что в изложенном выводе направление Е совпадает с п, несуществен, так как заранее очевидно, что может зависеть лишь от направления Е, но не п. |
Р
Я0 = Я0(р, Т) есть то давление, которое имелось бы в среде в отсутствие поля при данных значениях р и Т. Поэтому при подстановке (15,8) в (15,7) получим
— (р, T)6lh-£[s-9 (|)r]'6,.fc + ^. (15,9)
В пустоте это выражение переходит в известный максвелловский тензор напряжений электрического поля1).
Силы, с которыми действуют на поверхность раздела две соприкасающиеся различные среды, должны быть равны и противоположны: aiknk = — o'tkn'k, где величины со штрихом и без него относятся к двум средам. Векторы нормали п и п' имеют взаимно противоположные направления, так что можно написать
офк = °1кПк. (15,10)
На границе двух изотропных сред равенство тангенциальных составляющих сил соблюдается тождественно. Действительно, подставив (15.7) в (15.10) и взяв тангенциальную компоненту, получим
EtDn = E'tDn.
Но это равенство удовлетворяется уже в силу граничных условий непрерывности Et и £)„. Условие же равенства нормальных составляющих сил дает нетривиальное условие, налагаемое на разность давлений в обеих средах.
Рассмотрим, например, границу между жидкостью и атмосферой (для последней можно положить е=1). Отмечая штрихом величины, относящиеся к атмосфере, и пользуясь для atk формулой (15,9), получим
-/,.(р.Л+£р(^)г + Ёг(«-£?) = -Лп.+^(^-^).
Учитывая граничные условия Et — E't, Dn = еЕп = D'n = E'n, перепишем это равенство в виде
Р.(Р. Т)-Рт = &(%)т-В-£№ + Щ). (15,11)
Это соотношение надо понимать как уравнение, определяющее плотность р жидкости вблизи ее поверхности по напряженности электрического поля в ней.
de-dp У т |
£2 8л дх[ |
4л |
*) См. примечание на стр. 49. |
Определим теперь действующие в диэлектрической среде объемные силы. Дифференцируя согласно (15,2) выражение (15,9), получим
При учете уравнения div D = dDk/dxk = 0 выражение в скобках в последнем члене сводится к сумме
дхь |
F дЕЬл.п дЕ> — п (дЕ* дЕЛ
кдх
обращающейся в нуль ввиду того, что rot Е = 0. Таким образом, получаем
f = |
£2р |
--grade (15,12) |
-gradP0(p, 7") + -^ grad
(Н. Helmholtz, 1881).
Если в диэлектрике имеются сторонние заряды с объемной плотностью рС1, то к силе f добавится еще член Е div D/4n; поскольку divD = 4npCT, то этот член равен
РсгЕ">
(15,13)
не следует, однако, думать, что этот результат самоочевиден (ср. задачу 3 § 16).
В газе, как уже было указано в § 7, можно считать разность е—1 пропорциональной его плотности. Тогда pde/dp = e — 1 и формула (15,12) принимает более простой вид:
f = -
VP0 + Vgrad£?- (15'14>
Формула (15,12) справедлива для сред как однородных, так и неоднородных по своему составу. В неоднородной среде е является функцией не только р и Т, но и меняющейся вдоль среды концентрации смеси. В однородной же по составу среде е есть функция только р, Т, и grade можно раскрыть как
T-(jr).»r+Wr
Тогда (15,12) приобретает вид:
f = -V/>.<P, Т)+{-Ч
Если и температура постоянна вдоль тела, то третий член обращается в нуль, а в первом можно заменить уР0 на pV£0 (согласно известному термодинамическому соотношению для химического потенциала в отсутствие поля: pd£0 = dP0—S0dT) и
f =
8л \Тр)т
= — Р VC.
(15,16)
где £— химический потенциал вещества в электрическом поле (см. (10,19)).
В частности, условие механического равновесия f = 0 при постоянной температуре гласит:
C= £.-S(g)r=const (15,17)
в согласии с общим термодинамическим условием равновесия. Обычно это условие может быть написано в еще более простом виде. Изменение плотности среды под влиянием поля само пропорционально Е'1. Поэтому, если в отсутствие поля среда однородна по своей плотности, то и при наличии поля в последних двух членах в (15,15) следует полагать р = const; учет изменения р в формулах, предполагающих линейную связь D = еЕ, был бы превышением их точности. Тогда, приравнивая нулю f из (15,15), получим при постоянной температуре условие равновесия в виде
*'<P'r>-ir(l)r==Const' (15Л8>
отличающемся от (15,17) тем, что вместо £0 в нем стоит Р0/р.
В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно вывести непосредственно выражение для силы (15,12) из формулы (14,1),— если не ставить себе целью вычисление тензора напряжений.
Рассмотрим неограниченную неоднородную диэлектрическую среду, подвергаемую изотермической малой деформации, обращающейся в нуль на бесконечности. Вариация бе складывается из двух частей: 1) из изменения
е (г—и) — е (г) = — и уе,
связанного с тем, что в результате деформации в заданную точку г приходит частица вещества из точки г—и, и 2) из изменения
-(!)rpdivu'
связанного с изменением плотности вещества в точке г: как известно (см. VII § 1), div и есть относительное изменение элемента объема и потому изменение плотности есть бр = — pdivu. Таким образом, вариация свободной энергии:
6<Г = 6Г0 —J 8e^dl/ = — \ P0divudV +
+ J£ [и*е + (|)г pdivu] dV (15,19)
(первый член —вариация свободной энергии в отсутствие поля). Проинтегрировав в (15,19) члены с div и по частям и сравнив
результат с выражением 8<F = — \uidV вариации свободной энергии через работу сил f, получим (15,12).
§ 16. Электрические силы в твердых телах
Диэлектрические свойства твердого тела меняются не только при изменении его плотности (как у жидкости), но и при деформациях, не меняющих плотности (сдвигах). Мы рассмотрим сначала тела, которые в отсутствие поля изотропны. Деформация нарушает, вообще говоря, изотропию тела; в результате становятся анизотропными также и его диэлектрические свойства, и скалярная диэлектрическая проницаемость е заменяется диэлектрическим тензором в1к.
Состояние слабо деформированного тела описывается, как известно, тензором деформации
где и (х, у, г) — вектор смещения точек тела. Ввиду малости этих величин в изменении компонент sik достаточно ограничиться лишь членами первого порядка по u!k. Соответственно этому представим диэлектрический тензор деформированного тела в виде
(16,1)
Здесь е0—диэлектрическая проницаемость недеформированного тела, а последние два члена (с двумя скалярными постоянными аи а2) представляют собой наиболее общий вид тензора второго ранга, который можно составить линейным образом из компонент тензора uik.
Посмотрим теперь, в каком пункте должен быть изменен вывод, изложенный в предыдущем параграфе. Поскольку в твердом теле F зависит от всех компонент тензора деформации, то вместо (15,4) надо писать
dF
Ч-ft-
При рассматриваемом виртуальном смещении вектор и дается формулой (15,5), так что тензор деформации
Подставив это в 8F и учитывая симметрию тензора uik (а потому и производных dF/dulk), получим
4 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц
Теперь ясно, что для тензора напряжений мы получим вместо (15,7) следующее выражение1):
Формула (16,3) применима при любой зависимости D от Е. Для непиро- (и непьезо-) электрического тела, в которомDt=zikEk, F дается формулой (13,4), и для нужных нам производных получаем
■ik=lk~^{aiEiEk+atE'6ik)-
После этого везде в (16,3) полагаем e,-fe = e06,-fe и находим следующую формулу для тензора напряжений:
п _(Т(0) I 2е0"й1 р р Eo + g2 F2fi. /1С 4\
а%] есть тензор напряжений в отсутствие электрического поля, определяющийся через модули сдвига и сжатия по обычным формулам теории упругости.
х) Величина F в этой формуле, как и везде выше, есть свободная энергия, отнесенная к единице объема тела. В теории упругости, однако, обычно принимается несколько иное определение: термодинамические величины относят к количеству вещества, заключенному в единице объема недеформирован-ного тела, которое после деформирования может занять несколько иной объем. Переход от одного определения к другому легко произвести, выражая относительное изменение объема при деформации через тензор Ujk (ввиду наличия в (16,3) производной по и;к это надо сделать с точностью до членов второго порядка). В результате оба первых члена в (16,3) сведутся к одному члену вида dF/diiik, в согласии с обычной формулой теории упругости. 2) Мы увидим в § 17, что явление электрострикции в кристаллах может при определенных типах симметрии весьма существенно отличаться от электрострикции изотропных тел. Такие кристаллы называют пьезоэлектрическими. Здесь же будет идти речь об электрострикции в непьезоэлектрических кристаллах. |
Перейдем теперь к аналогичным вычислениям для анизотропных твердых тел 2). Изменения, которые должны быть при этом внесены в изложенный выше вывод, заключаются в следующем. При виртуальной деформации слоя вещества его кристаллографические оси испытывают поворот, в результате чего меняется их ориентация по отношению к электрическому полю. Ввиду анизотропии диэлектрических свойств кристалла это обстоятельство приводит к дополнительному изменению F, не учтенному в (16,2). При вычислении этого изменения безразлично считать, оси ли кристалла поворачиваются на некоторый угол 8<р относительно поля Е или поле поворачивается относительно осей на угол —6<р; второй способ более удобен.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Таким образом, к вариации поля (15,6), рассматривавшейся нами ранее, надо прибавить изменение Е при повороте на угол — бф:
бЕ = -|п(Е1)-[бф.Е].
Угол бср связан с вектором смещения и при деформации посредством бср = 1/2 r°t и (это равенство легко получить, заметив, что при повороте тела на угол бср его точки смещаются на и = = [бср - г]). Подставив сюда и из (15,5), получим
6tp=^[vzi]=^[ni],
а затем
6Е = -1 n (Ei) +1 [Е [пЦ] = - i {n (Е1) +1 (пЕ)}. Первый член в (16,2) принимает вид
-5Г D бЕ = Ш «nD) «Е> + <№) ("Е)} = |f Е-Щ^±.
Отсюда видно, что в (16,3) произведение EtDk должно быть заменено стоящей здесь в скобках полусуммой:
°»=f «й + £+h ^+<16-5)
Отметим, что полученное выражение автоматически оказывается, как и должно быть, симметричным по индексам i и /г.
Что касается диэлектрического тензора деформированного кристалла, то вместо выражения (16,1) с двумя скалярными постоянными мы будем иметь в общем случае выражение вида
tik = z\il + aiklmiilm, (16,6)
где aiklm — постоянный тензор четвертого ранга, симметричный по парам индексов i, k и 1,т (но не симметричный по отношению к перестановке пары i,k с парой 1,т). Число отличных от нуля независимых компонент этого тензора зависит от симметрии кристалла, а именно от его кристаллического класса.
Мы не станем выписывать здесь формулы для тензора напряжений (аналогичной (16,4)), получающейся при использовании (16,6).
Полученные формулы определяют напряжения внутри твердого диэлектрика. Они, однако, не нужны, если мы хотим определить полную силу F или полный момент сил К, действующие на тело со стороны внешнего поля. Рассмотрим тело, погруженное в жидкую (или газообразную) среду и удерживаемое в ней неподвижно. Полная действующая на него сила равна интегралу
(f)aiknkdf,взятому по его поверхности. В силу непрерывности
сил eiknk безразлично, вычисляется ли этот интеграл по значениям aik из (16,4), или из формулы (15,9), относящейся к окружающей тело среде. Предположим, что эта среда находится в механическом и тепловом равновесии. Тогда вычисление еще более упрощается, если учесть условие равновесия (15,18). В силу этого условия часть тензора напряжений (15,9) оказывается постоянным вдоль среды равномерным сжимающим (или растягивающим) давлением, не дающим никакого вклада в полные действующие на тело силу F и момент сил К- Для вычисления последних можно, следовательно, писать aik просто в виде
ог/*=^г(ад-т6'*)' (16'7)
где Е — поле в жидкости, а е—-ее диэлектрическая проницаемость это выражение отличается от максвелловского тензора напряже ний электрического поля в пустоте лишь множителем е. Таким образом:
JE(nE)-l£*njdf, (16,8)
K-4^^{[rE](nE)-i^[rnl|df. (16,9)
Отметим также, что поскольку жидкость находится в равновесии, то в этих формулах можно производить интегрирование по любой замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемое тело (но, разумеется, не заключающей в себе заряженных тел, являющихся источниками поля).
К вопросу о вычислении полной силы, действующей на диэлектрик в электрическом поле (в пустоте), можно подойти и с другой точки зрения, выражая ее не через фактически существующее поле, а через то поле ©, которое создавалось бы заданными источниками в отсутствие диэлектрика; это есть то «внешнее поле», в которое вносится тело. При этом предполагается, что распределение зарядов, создающих поле, не меняется при внесении тела в поле. Это условие может фактически не выполняться, например, если заряды распределены по поверхности протяженного проводника и диэлектрик подносится на конечное расстояние к нему.
При виртуальном параллельном переносе тела как целого на бесконечно малое расстояние и полная свободная энергия тела изменится согласно (11,3) на
6Г ==* — $P6©dl/,
где
бе- = е (г+и)—© (г) = (uv) ©
есть изменение поля С? по отношению к заданной точке тела. Поскольку u= const и rot 05 = 0, имеем
р (u v) е = (pv) (и©) = и (pv) е,
так что
6<Г = —и l(Py)(SdV.
С другой стороны, 6<F = —uF, и мы приходим к следующей формуле для искомой силы *):
F= J(pv) 6-ЛУ. (16,10)
Аналогичным образом можно определить полный момент сил, действующих на тело. Не останавливаясь на соответствующих вычислениях, укажем результат:
К =S [РЩаУ+l [r-(pv)©]dv. (16,п)
В квазиоднородном поле, которое можно считать постоянным на протяжении размеров тела, формула (16,10) в первом приближении дает
f = ($pdvv)<S=(^v)e, (16,12)
где —полный дипольный момент поляризованного диэлектрика, что, разумеется, можно было бы получить и прямым дифференцированием ¥ из (11,8). В формуле (16,11) в первом приближении вообще пренебрегаем вторым членом по сравнению с первым и приходим к естественному результату:
к (16,13)
Задачи
1. Диэлектрический шар (радиуса а), находящийся во внешнем однородном поле СЕ, разрезан на две половины плоскостью, перпендикулярной к направлению поля. Определить силу притяжения между полушариями.
Решение. Представляем себе полушария разделенными бесконечно тонкой щелью и определяем силу по формуле (16,8) (с е=1), производя в ней интегрирование по поверхности полушария, причем Е — напряженность поля в пустоте у поверхности. Согласно (8,2) поле внутри шара однородно и равно £(') — 3{ff./(2-|-e) (е—диэлектрическая проницаемость шара). Поле в щели перпендикулярно к поверхности и равно
*) Подчеркнем, однако, что подынтегральное выражение в этом интеграле нельзя интерпретировать как объемную плотность сил. Дело в том, что местные силы в диэлектрике связаны не только с полем (?, но и с собственными внутренними полями в нем, которые, в силу закона сохранения импульса, не дают никакого вклада в полную силу, но влияют на распределение сил по объему тела. |
E = DU» = ^-e.
На внешней же поверхности шара
Er = Dri] = © cos 0, Ев = £</> = g sin 9,
где 0 — угол между радиус-вектором и направлением 05-
Вычисление интеграла приводит к силе притяжения, равной1)
16 (е + 2)-
2. Определить изменение формы диэлектрического шара во внешнем одно-
родном электрическом поле.
Решение вполне аналогично решению задачи 4 § 5. При определении изменения формы предполагаем объем шара неизменным 2). Для упругой части свободной энергии имеем то же выражение, что и в задаче 4 § 5. Электрическая часть дается выражением
1^ V_ е'*> —1. 2
2J^~ 8л 1+п(е(*> —1) te
(см. (8,9)), причем диэлектрическая проницаемость вдоль оси х согласно (16,1)
= е0 + а1