Хвилі типу Е в прямокутному хвилеводі

Розв'язок хвильового рівняння для складової

Запишемо рівняння (13) в декартовій системі координат

(42)

Будемо розв'язувати це диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних методом розділення змінних, тобто представимо вирішення у вигляді:

(43)

В (34) X залежить від змінної х, a Y - від у. Підставимо (43) в (42) і отримаємо

Розділимо ліву та праву частини на

(44)

В рівнянні (44) ліва частина уявляє собою суму двох незалежних по координатам х та у частин, тому можливо і праву частину представити у вигляді суми двох незалежних частин

(45)

тоді рівняння (45) розпадеться на два незалежних рівняння

; . (46)

Представимо (46) в іншому вигляді

; . (47)

Рівняння типу (36') добре вивчені. їх вирішення - це суперпозиція

гармонійних функцій

(48)

Підставимо (48) в (43) і отримаємо вирішення рівняння (42)

(49)

Знаходження невідомих К_х, К_у та K

В виразі (49) є шість невідомих: А, В, С, D, К_х, К_у. Для їх визначення

треба скористатися граничними умовами:

при х=0, х=а а)

(50)

при y=0, y=в б).

Підставимо (50а) в (49) і отримаємо два рівняння

а)

(51)

б).

 

Рівняння (51а) буде задовільнене при будь-яких значеннях змінної у тільки тоді, коли А=0. Підставимо А=0 в (51б) і отримаємо

Це рівняння буде при тій же умові (тобто для будь-яких у) задовільнене лише тоді, коли

BsinK_xa = 0. (52)

Підставляючи (50б) в (49) аналогічно отримаємо
а)

 

б). (53)

Розглянемо сукупність рівнянь (52) та (53б). Вони при А=0 та С=0 можуть бути задовільнені лише тоді, коли

а)

(54)

б).

Якщо ж припустити, що для задовільнення (52) та (53а) величини B=D=0, то при А=С=0 отримаємо з співвідношення (49), що і E_z=0, а це не задовольняє головній умові існування хвилі типу .

Із (54) витікає, що

 

а)

(55)

б).

 

В (55) m та п - це натуральний ряд чисел, починаючи з 1, бо при А=С=0, значення m=0, або n=0 знову приводять до E_z = 0, тобто зникає хвиля типу Е. Підставимо А=0, С=0 та (55) в (49) і позначимо добуток BD = E_0z.

. (56)

Таким чином, отримали вирішення хвильового рівняння (43) у вигляді

(56). Для знаходження поперечної сталої поширення підставимо (55)в (45) і отримаємо

(57)

 

Знаходження поперечних складових та

Для знаходження структури поперечних складових електричного поля та використаємо (11) та (12) при H_z = 0.

(58)

(59)

Відмітимо, що (8') можливо і не користуватися, бо вже маємо співвідношення (32) для хвиль типу Е

Підставимо у вигляді (56) в (58)

 

З урахуванням , розпишемо останній вираз покоординатно

 

(60)

 

Використавши (32), із (60а), (60б) зразу ж отримаємо (урахувавши, що

 

(61)

Висновки по (56) та (60): 1. Структура , , , , в площині поперечнього перерізу відповідає структурі стоячих хвиль. При цьому m - число півхвиль, які вкладаються по широкій стінці, п - число стоячих півхвиль, які вкладаються по вузькій стінці. В відповідності до такої трактовки хвилі типу Е позначаються (або , або ), де кожній парі індексів m та n відповідає своя структура е.м.х. в хвилеводі.

2. В напрямі вісі z всі складові для хвилі типу Е мають характер рухомої хвилі - залежність .

3. Залежність від часу -

4. та зсунуті по фазі відносно на , що в одиницях довжини відповідає , де - довжина хвилі в хвилеводі, яка визначається по (19).

5. Індекс , бо інакше Еz = 0 і зникає хвиля типу Е.