Потенциалы Ликнара – Вихерта и поле точечного заряда

Пусть имеется точечный заряд движущийся со скоростью , отвечает точке наблюдения, интегрируем.

Формулы (20) - (21) для запаздывающих потенциалов можно объединить в одну для 4- потенциала . Тогда можно написать

(1)

где , а - функция обеспечивает запаздывание потенциалов. Так как рассматривается движение точечного заряда q, то для

(2)

где (3)

Интегрирование по объёму проводится сразу

где теперь .Для интегрирования по воспользуемся известным соотношением

(5)

В нашем случае т.е.

Следовательно

т.е. (6),

Интегрирование с использованием дает потенциалы произвольным образом движущегося заряда – потенциалы Ликнара – Вихерта:

(7)

где индекс запаздывающий означает, что величины в (7) следует брать в момент времени , определяемый из соотношения

(8)

Для нерелятивистского движения .

Используя определение и для векторов и можно найти

(9)

Первое слагаемое зависит лишь от и фактически имеет статический характер, убывая с расстоянием, как .

Вторая линейно зависит от и является типичным поперечным полем излучения, для которого и изменяется как .