На заряженную частицу в электромагнитном поле действует сила Лоренца. Поэтому релятивистское уравнения движения для пространственных компонент имеет вид:
(1)
а уравнение для четвертой компоненты дает:
Выразим силу Лоренца 
через электромагнитный потенциал:
(2)
Так как
,
а при частном дифференцировании по координате 
надо полагать за постоянную, то
и таким образом
так как
Поэтому (1) примет вид:
(3)
Эти уравнения можно рассматривать, как уравнения Лагранжа если
(4)
Тогда обобщенный импульс 
и обобщенная сила 
по определению равны:
(5)
(6)
Подставляя (5) и (6) в уравнения Лагранжа:
(7)
получим (3). Таким образом, 
(4) – действительно функция Лагранжа.
Внерялитивистском приближении 
, т.е.
(8)
Видно, что даже при функция Логранжа не равняется разности кинетической и поступательной энергии, так как в (8) есть слагаемое зависящее от 
и .
Найдем функцию Гамильтона:
Функция (9) будет функцией Гамильтона, если выразить через обобщенный импульс .
Из (9) следует, что:
(10)
а из (5) находим:
т.е.
(11)
Сравнивая (10) и (11), получим
(12)
Так как 
, а, с другой стороны в отсутствие магнитного поля (электростатика) 
и 
(12 а), то функция Гамильтона в обоих случаях, по сути дело, совпадают. Это не удивительно: магнитное поле не изменяет энергию частиц.
