Тензор электромагнитного поля и уравнения Максвелла

 

Перейдём от потенциалов к полям и

,

Найдём ; или

Аналогично:

.

Для найдем

и т.д.

 

Симметрия полученных формул наводит на мысль записать всю их совокупность в виде единой тензорной величины.

. (1)

Тензор антисимметричен по определению, а вычисление его компонент приводит к матрице

. (2)

 

Символически это можно представить в виде

, (3)

где

- тензор, дуальный вектору с компонентами .

Итак, все компоненты и оказываются компонентами тензорной величины . Более того, уравнения Максвелла – это уравнения относительно этого тензора. Прямыми вычислениями можно показать, что тензорное уравнение

(4)

представляет запись двух первых уравнений Максвелла

I группа

а уравнение

(5)

- двух других:

II группа

Формулы (4) и (5) представляют из себя релятивистски-инвариантную форму записи системы уравнений Максвелла. В них отчётливо видна неразрывная связь электрических и магнитных полей - они являются компонентами единого антисимметричного тензора, описывающего электромагнитное поле. Уравнения электромагнитного поля – это уравнения именно относительно этого тензора.

Если наряду с тензором ввести :

, (6)

или в операторно- матричной форме

,

то прямые вычисления показывают, что аналогично (5), уравнения Максвелла второй группы для электромагнитного поля в среде объединяются в релятивистски инвариантное выражение

. (7)